[論文レビュー] New modification of Maheshwari method with optimal eighth order of convergence for solving nonlinear equations

Somayeh Sharifi, Массимилиано Феррара+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2014

Iterative Methods for Nonlinear Equations参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、修正されたMaheshwari法に基づき、非線形方程式を解くための最適な8次収束を示す新しいマルチポイント反復法の族を提案する。重み関数を導入し、導関数を関数値を用いて近似することで、1反復あたり4回の関数評価と1回の導関数評価で8次収束を達成し、KungとTraubの最適性に関する予想を満たす。

ABSTRACT

In this paper, we present a family of three-point with eight-order convergence methods for finding the simple roots of nonlinear equations by suitable approximations and weight function based on Maheshwari method. Per iteration this method requires three evaluations of the function and one evaluation of its first derivative. This class of methods has the efficiency index equal to $8^{\frac{1}{4}}\approx 1.682$. We describe the analysis of the proposed methods along with numerical experiments including comparison with existing methods.

研究の動機と目的

• 非線形方程式を解くための、8次収束を示す最適な3点反復法の新クラスを開発すること。
• 関数評価回数が与えられた場合の多点法における最大収束次数の上限に関するKungとTraubの予想を満たすこと。
• 高い収束次数を維持しつつ、導関数評価回数を削減する近似手法により、効率を向上させること。
• 1反復あたり4回の関数評価と1回の導関数評価で、効率指数 $8^{1/4} \approx 1.682$ を達成する方法を構築すること。
• 多様な非線形テスト問題に対する数値実験を通じて、理論的収束次数と効率を検証すること。

提案手法

• 14次収束を示すMaheshwari法を拡張し、追加のニュートンステップを導入することで収束次数を向上させる。
• 新たな反復点 $z_n$ における導関数評価を回避するため、$f(x_n), f(y_n), f(z_n)$ および $f'(x_n)$ を含む有理関数を用いて $f'(z_n)$ を近似する。
• 近似には重み関数 $H(s_n)$ を用い、$s_n = f(z_n)/f(x_n)$ と定義し、8次収束を保証するための条件 $H(0) = 1$ および $H'(0) = 2$ を満たす。
• 本手法は3段階の中間ステップを用いる：$y_n = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$、$z_n = x_n + \frac{1}{f'(x_n)}\left(\frac{f^2(x_n)}{f(y_n)-f(x_n)} - \frac{f^2(y_n)}{f(x_n)}\right)$、および $x_{n+1} = z_n - \frac{f(z_n)}{f'(x_n)} F(x_n,y_n,z_n) H(s_n)$。
• 重み関数 $H(s_n)$ は収束挙動を制御し、関数 $f$ の特定の滑らかさおよび微分可能性条件の下で最適な次数を達成するように構築される。
• 収束解析は真の根 $x^*$ の周囲におけるテイラー展開を用いて行われ、8次収束を示す誤差方程式が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数評価回数が制限された非線形方程式の3点反復法として、8次収束と最適効率を満たすものが構築可能か？
• RQ2 収束次数を損なわずに、新たな反復点における導関数評価を回避する方法は何か？
• RQ3 8次収束を達成するため、重み関数 $H(s_n)$ が満たすべき条件は何か？
• RQ4 提案手法は、関数評価回数が与えられた場合の最大収束次数に関するKungとTraubの予想を満たすか？
• RQ5 実際の応用において、既存の最適8次法と比較して収束速度およびロバスト性に優れているか？

主な発見

• 提案手法は、1反復あたり4回の関数評価と1回の導関数評価で8次収束を達成し、効率指数 $8^{1/4} \approx 1.682$ を得る。
• 誤差方程式 $e_{n+1} = \left(\frac{1}{2}c_2^2(4c_2^2 - c_3)(c_2^3 - 8c_2c_3 + 2c_4)\right)e_n^8 + O(e_n^9)$ は、与えられた条件下で8次収束が成立することを確認する。
• 4つのテスト関数に対する数値実験では、反復ごとの正しく桁数が2乗的に増加し、ACOC値は常に8.0000に近い値を示す。
• 収束速度と精度の面で、既存の最適8次法と同等またはそれを上回ることが、反復ごとの $|x_k - x^*|$ の急激な減少により実証された。
• 病的な条件や複雑な非線形方程式に対しても、3〜4反復で残差誤差がマシン精度まで低下するなど、高い精度を維持する。
• 超越関数、多項式、混合型方程式を含むさまざまな初期値とテスト関数に対して、本手法はロバストであることが確認され、実用的応用可能性が裏付けられた。