[論文レビュー] New Modular Hopf Algebras related to rational $k$ $\widehat {sl(2)}$

Sanjaye Ramgoolam|ArXiv.org|Jan 29, 1993

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、根の単位における $U_q\mathrm{SL}(2)$ の商から、新しいモジュラー Hopf 代数を構成し、それらのホップリンク不変量が Kac と Wakimoto が定義した有理数 $k\widehat{sl}(2)$ のモジュラー $S$-行列と一致することを示している。得られる不変量は、Reshetikhin-Turaev 形式主義により 3 次元多様体不変量をもたらし、フレーミング異常補正因子 $e^{-i\pi/4 \cdot (3k/(k+2))}$ を含む。また、$k+2 = r/m$ で分母が奇数である有理数 $k$ の場合に、最高・最低重量表現を適切に切断することで、非負整数の融合則が得られることを Verlinde 公式が確認する。

ABSTRACT

We show that the Hopf link invariants for an appropriate set of finite dimensional representations of $ U_q SL(2)$ are identical, up to overall normalisation, to the modular S matrix of Kac and Wakimoto for rational $k$ $\widehat {sl(2)}$ representations. We use this observation to construct new modular Hopf algebras, for any root of unity $q=e^{-iπm/r}$, obtained by taking appropriate quotients of $U_q SL(2)$, that give rise to 3-manifold invariants according to the approach of Reshetikin and Turaev. The phase factor correcting for the `framing anomaly' in these invariants is equal to $ e^{- {{i π} \over 4} ({ {3k} \over {k+2}})}$, an analytic continuation of the anomaly at integer $k$. As expected, the Verlinde formula gives fusion rule multiplicities in agreement with the modular Hopf algebras. This leads to a proposal, for $(k+2)=r/m$ rational with an odd denominator, for a set of $\widehat {sl(2)}$ representations obtained by dropping some of the highest weight representations in the Kac-Wakimoto set and replacing them with lowest weight representations. For this set of representations the Verlinde formula gives non-negative integer fusion rule multiplicities. We discuss the consistency of the truncation to highest and lowest weight representations in conformal field theory.

研究の動機と目的

• 根の単位における $U_q\mathrm{SL}(2)$ の有限次元商から新しいモジュラー Hopf 代数を構成すること。
• これらの商のホップリンク不変量と、有理数 $k\widehat{sl}(2)$ 表現のモジュラー $S$-行列との間の対応を確立すること。
• 有理数 $k+2 = r/m$ で分母が奇数である場合に、$widehat{sl}(2)$ における conformal field theory の最高・最低重量表現の適切な切断を導出すること。
• Verlinde 公式が、切断された表現集合において非負整数の融合則乗数をもたらすことを確認すること。
• これらの新しいモジュラー Hopf 代数から得られる 3 次元多様体不変量におけるフレーミング異常補正因子を特定すること。

提案手法

• 根の単位における $U_q\mathrm{SL}(2)$ の有限次元商を特定し、モジュラー性を保つようにすること。
• この商のホップリンク不変量を計算し、有理数 $k\widehat{sl}(2)$ の Kac と Wakimoto のモジュラー $S$-行列と比較すること。
• Reshetikhin-Turaev の構成法を用いて、モジュラー Hopf 代数構造から 3 次元多様体不変量を生成すること。
• フレーミング異常補正因子を $e^{-i\pi/4 \cdot (3k/(k+2))}$ として導出し、整数 $k$ からの解析接続を行うこと。
• Verlinde 公式を用いて融合則乗数を計算し、整数性と非負性を検証すること。
• 有理数 $k+2 = r/m$ で分母が奇数である場合に、特定の最高重量表現を最低重量表現に置き換える切断スキームを提案すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 根の単位における $U_q\mathrm{SL}(2)$ の有限次元商から、有理数 $k\widehat{sl}(2)$ のモジュラー $S$-行列を再現するモジュラー Hopf 代数を構成できるか？
• RQ2 これらの新しいモジュラー Hopf 代数から構成された 3 次元多様体不変量における正しいフレーミング異常補正因子は何か？
• RQ3 Kac-Wakimoto の表現集合の切断——一部の最高重量表現を最低重量表現に置き換える——は、非負整数乗数を持つ一貫性のある融合則をもたらすか？
• RQ4 有理数 $k+2 = r/m$ で分母が奇数である場合に、この提案された切断に対する Verlinde 公式の振る舞いはいかなるか？
• RQ5 提案された表現の集合は、融合則に関して閉じており、 conformal field theory の制約と整合的か？

主な発見

• 構成されたモジュラー Hopf 代数のホップリンク不変量は、正規化を除き、Kac と Wakimoto の有理数 $k\widehat{sl}(2)$ のモジュラー $S$-行列と正確に一致する。
• 3 次元多様体不変量におけるフレーミング異常補正因子は $e^{-i\pi/4 \cdot (3k/(k+2))}$ であり、これは整数 $k$ からの解析接続である。
• 有理数 $k+2 = r/m$ で分母が奇数である場合に、提案された切断された表現集合に対して Verlinde 公式は非負整数の融合則乗数をもたらす。
• 切断は、Kac-Wakimoto のセットに含まれる特定の最高重量表現を最低重量表現に置き換えるものであり、モジュラーテンソルカテゴリの公理を保つ。
• 新しいモジュラー Hopf 代数は、$q = e^{-i\pi m/r}$ における $U_q\mathrm{SL}(2)$ の商として構成され、有限次元性とモジュラー不変性を保証する。
• この構成により、Reshetikhin-Turaev のアプローチがこの新しいモジュラー Hopf 代数のクラスに適用可能であり、3 次元多様体の位相的不変量をもたらすことが確認された。