[論文レビュー] New Nonconforming Elements for Linear Strain Gradient Elastic Model

Hongliang Li, Pingbing Ming+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2018

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、勾配ジャンプ項を含まない離散的定式化を可能にする新規のH²-Kornの不等式を活用して、線形ひずみ勾配弾性モデルのための新しい非適合有限要素を提案する。この手法により、より単純な要素（例えば、テンソル積NTWおよびSpechtの三角形、および修正されたMorley要素）を用いて、最適収束率を達成するロバストで一様収束性を有する近似が可能となり、数値実験では最適な半次の収束が確認された。

ABSTRACT

Based on a new H$^2-$Korn's inequality, we propose new nonconforming elements for the linear strain gradient elastic model. The first group of elements are H$^1-$conforming but H$^2-$nonconforming. The tensor product NTW element [Tai:2001] and the tensor product Specht triangle are two typical representatives. The second element is based on Morley's triangle with a modified elastic strain energy. We proved new interpolation error estimates for all these elements, which are key to prove uniform rates of convergence for the proposed elements. Numerical results are reported and they are consistent with the theoretical prediction.

研究の動機と目的

• 微小な材料パラメータに依存しない一様収束性を有する、より単純でロバストな非適合有限要素を、線形ひずみ勾配弾性モデルに対して開発すること。
• C¹適合要素の高い自由度と複雑さを克服するため、H¹適合だがH²非適合な要素を用いること。
• 勾配ジャンプ項を含まない新規の離散的H²-Kornの不等式を確立し、要素構築を簡素化するとともに最適収束を可能とすること。
• 微小な材料パラメータに依存しない一様収束率を保証する新しい補間誤差推定式を証明すること。
• 滑らかな解および境界層解を対象とした数値実験を通じて理論的予想を検証すること。

提案手法

• 勾配ジャンプ項を含まない新規のH²-Kornの不等式およびその離散的類似を提案し、非適合要素の構築を簡素化する。
• 2つの要素族を構築する：NTWおよびSpechtの三角形のテンソル積（9自由度、4次多項式）、および調整された弾性ひずみエネルギーを有する修正されたMorley三角形要素。
• 離散的H²-Kornの不等式を用いて、微小な材料パラメータιに依存しないエネルギーノルムにおける一様収束を証明する。
• すべての提案要素に対して、最適収束率を証明するために不可欠な新しい補間誤差推定式を導出する。
• メッシュサイズを変化させ、ι = 10⁻⁶としてモデル問題に要素を実装・テストし、理論的収束率が確認されることを検証する。
• 離散的H²-Kornの不等式を基盤として、将来的なC⁰ペナルティ法や3次元への拡張に応用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 勾配ジャンプ項を含まない新規の離散的H²-Kornの不等式を導出可能か？これにより、ひずみ勾配弾性のためのより単純な非適合要素の構築が可能になるか？
• RQ2 提案された非適合要素は、エネルギーノルムにおいて微小な材料パラメータιに対して一様収束性を示すか？
• RQ3 弾性ひずみエネルギーを適切に調整した場合、標準形で失敗する修正されたMorley三角形要素は、一様収束性を達成できるか？
• RQ4 提案された要素の最適収束率は何か？数値実験において理論的予測と一致するか？
• RQ5 新規のH²-Kornの不等式は、3次元問題およびひずみ勾配モデルにおけるC⁰ペナルティ法に拡張可能か？

主な発見

• 提案されたNTWおよびSpechtの三角形要素は、エネルギーノルムにおいて理論的予測と整合する約半次の収束率（≈0.5）を達成する。
• 修正されたMorley要素は、最初のメッシュ細分化において約0.6の収束率を示し、理論的半次の収束率に近づく。
• 数値結果により、微小な材料パラメータι = 10⁻⁶に対しても、すべてのテスト要素で一様収束性が確認された。
• 新規の離散的H²-Kornの不等式により、辺上における勾配自由度の必要性が完全に排除され、要素構築が簡素化された。
• 導出された補間誤差推定式は鋭く、提案されたすべての要素における一様収束性の証明を直接的かつ明確に支援する。
• 従来のC¹適合または高次H²非適合アプローチと比較して、より単純な要素を用いてロバストで最適な収束性を実現可能である。