[論文レビュー] New numerical scheme of Atangana-Baleanu fractional integral: an application to groundwater flow within leaky aquifer

Jean‐Daniel Djida, Iván Area+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、関数とそのリーマン＝リウビル分数階積分の重み付き平均に基づく、アタンガナ＝バレアヌ分数階積分の新しい数値スキームを提案する。このスキームは、漏れのある水中層における地下水の流れモデルを用いて検証され、誤差解析およびシミュレーションを通じて高い精度を示し、Mittag-Leffler核を用いることで不均一な多孔質媒体内の記憶効果を捉える点で、古典的モデルよりも物理的に現実的であることが示された。

ABSTRACT

Many physical problems can be described using the integral equations known as Volterra equations. There exists quite a number of analytical methods that can handle these equations for linear cases. For non-linear cases, a numerical scheme is needed to obtain an approximation. Recently a new concept of fractional differentiation was introduced using the Mittag-Leffler function as kernel, and the associate fractional integral was also presented. Up to this point there is no numerical approximation of this new integral in the literature. Therefore, to accommodate researchers working in the field of numerical analysis, we propose in this paper a new numerical scheme for the new fractional integral. To test the accuracy of the new numerical scheme, we first revisit the groundwater model within a leaky aquifer by reverting the time classical derivative with the Atangana-Baleanu fractional derivative in Caputo sense. The new model is solved numerically by using this new scheme.

研究の動機と目的

• 文献においてまだこのようなスキームが存在しないアタンガナ＝バレアヌ分数階積分の数値近似法を開発すること。
• アタンガナ＝バレアヌ分数階微分（カプート型）を用いて、漏れのある水中層における地下の地下水の流れをモデル化するため、新しい数値スキームを適用すること。
• 提案されたスキームの精度と収束性を、分数階地下水の流れモデルの数値シミュレーションを通じて検証すること。
• Mittag-Leffler核が多孔質媒体内の記憶効果と不均一性の効果を捉える上で物理的に意味を持つことを示すこと。

提案手法

• 関数とそのリーマン＝リウビル分数階積分の平均に基づく有限差分法を用いて、アタンガナ＝バレアヌ分数階積分を離散化する。
• 時間方向には半離散有限差分法、空間方向にはガレルキン有限要素法を用いて、得られた偏微分方程式を解く。
• 数値スキームは、直前の時間ステップにおける関数値の重み付き和として構築され、Mittag-Leffler関数から導かれた係数を組み込む。
• 数値近似の収束性と安定性を確立するために、誤差解析を実施する。
• 地下水モデルは、古典的時間微分をアタンガナ＝バレアヌ分数階微分（カプート型）に置き換えることで再定式化する。
• 350個の等間隔の空間ノードと、変化する時間ステップを用いて、さまざまな分数階数 α における解の挙動を可視化するためのシミュレーションを実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 文献にまだ存在しないアタンガナ＝バレアヌ分数階積分のための安定的かつ高精度な数値スキームを開発することは可能か？
• RQ2 アタンガナ＝バレアヌ微分に用いられるMittag-Leffler核の使用は、古典的モデルと比較して、不均一で漏れのある水中層における地下水の流れのモデリングをどのように改善するか？
• RQ3 提案されたアタンガナ＝バレアヌ積分のための数値スキームの収束性と誤差の大きさはいかほどか？
• RQ4 分数階数 α は、漏れのある水中層モデルにおける地下水の流れのダイナミクスにどのように影響を与えるか？
• RQ5 提案された数値手法は、地下の流れ過程における記憶効果の物理的現実性を保持しているか？

主な発見

• 本稿で提案されたアタンガナ＝バレアヌ分数階積分の数値スキームは、論文で提示された誤差解析により、高い精度を示していることが確認された。
• シミュレーションの結果、解の時間発展が分数階数 α に依存しており、α = 1/2 と α = 9/10 では、時間の経過とともに異なる流れのパターンを示している。
• k=50（後期の時間ステップ）における解は、k=0 と比較して地下水位により顕著な変化を示しており、分数階記憶効果に一致する動的な変化が観察された。
• Mittag-Leffler核の使用により、古典的べき乗法核よりも、不均一な媒体内での物理的プロセスのより自然な表現が可能になった。
• 数値結果により、与えられた条件下で分数階地下水モデルの解の存在と一意性が確認された。
• 空間ノード数（例：350）を増やすことで、区間 [0,1] 全体における解の精度が向上した。