[論文レビュー] New Optional Stopping Theorems and Maximal Inequalities on Stochastic Processes

Xinjia Chen|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、連続性領域が有界である確率過程における新しい任意停止定理を導入し、一様可積分性や停止時刻の期待値が有限であるといった古典的仮定を緩和する。一般化された最大不等式を確立し、Hoeffding-Azuma、Chernoff、Bernstein不等式といった古典的境界を統一・拡張し、増分が有界な martingale および supermartingale のためのより鋭い尾確率境界を提供する。

ABSTRACT

In this paper, we develop new optional stopping theorems for scenarios where the stopping rules are defined by bounded continuity regions. Moreover, we establish a wide variety of inequalities on the supremums and infimums of functions of stochastic processes over the whole range of time indexes.

研究の動機と目的

• 一様可積分性や停止時刻の期待値が有限であることを要件としない任意停止定理の開発。
• 特に増分が有界な確率過程に適用可能な広範なクラスの確率過程に適用可能な一般化された最大不等式の確立。
• Hoeffding-Azuma、Bernstein、Chernoff 不等式といった古典的不等式を一つの枠組みに統合すること。
• 右連続性の拡張を用いて離散時間の結果を連続時間過程へ一般化すること。
• 新規の指数モーメント技術を用いて、確率過程の上界および下界のための鋭い尾確率境界の導出。

提案手法

• 連続性領域が有界であることを前提とした新しい停止時刻条件を導入し、停止過程のほとんど確実収束を保証する。
• 離散時間の任意停止定理を出発点とし、右連続性を用いて連続時間過程へ拡張する。
• 関数 φ(s) = s² およびより一般的な φ(s) を用いて指数モーメントの境界を適用する。
• 尾確率推定の最適化のため、φ(s) − γs および φ(−s) − γs の下界を用いる。
• 定理6（一般化された最大不等式）を応用し、過程の上界および下界のための指数的尾確率境界を導出する。
• 自然なフィルトレーション (F_t) と条件付き期待値を用いて、新しい停止ルール下でも martingale 性質を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様可積分性や停止時刻の期待値が有限であることを要件としない任意停止定理を確立できるか？
• RQ2 Hoeffding-Azuma や Bernstein 不等式といった古典的境界を特別な場合として含むように、最大不等式を一般化できるか？
• RQ3 停止時刻の連続性領域にどのような条件を課すと、停止過程のほとんど確実収束が保証されるか？
• RQ4 増分が有界な確率過程の上界および下界に対して、鋭い尾確率境界を導出できるか？
• RQ5 離散時間の結果を martingale 性質を保ちながら連続時間過程へ拡張できるか？

主な発見

• 本稿は、停止時刻が有界な連続性領域によって定義される離散時間の supermartingale に対して、新しい任意停止定理を確立し、E[X_τ₂ | F_τ₁] ≤ X_τ₁ がほとんど確実に成り立つことを示した。
• 増分が有界（|X_{k+1}−X_k| < Δ）である martingale に対しては、停止時刻の期待値が有限であることを要件としない。
• Hoeffding-Azuma、Bernstein、Chernoff 不等式を特別な場合として含む一般化された最大不等式を導出した。
• X_t − X_{t−1} が有界で平均がゼロである過程 (X_t) に対して、任意の τ > 0 および γ > 0 に対して、Pr{sup_t [X_t − (λ+γ)t] ≥ 0} ≤ [(λ/(λ+γ))^{λ+γ} e^γ]^τ が成り立つ。
• 下界に関しては、同じ条件下で、Pr{inf_t [X_t − (λ−γ)t] ≤ 0} ≤ [(λ/(λ−γ))^{λ−γ} e^{-γ}]^τ が導出された。
• 離散過程を右連続とみなすことで、連続時間過程への結果の拡張が可能となり、一般の連続時間設定への応用が可能になった。