[論文レビュー] New path integral representation for Hubbard model: II. Spinless case

V. M. Zharkov, Вячеслав Сергеевич Кирчанов|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、強い電子相関系の原子極限から導かれる超コherent状態を用いて、スピンなし Hubbard モデルの新しい経路積分形式を提案する。動的超群が超スピン子 bundle 上に作用する厳密な非線形表現を構築することで、幾何的量子化および超共形対称性の非線形実現に基づく有効汎関数枠組みを導出し、強い電子相関の場理論的記述への道筋を示す。

ABSTRACT

The Hubbard model is used to study an electronic system. In this paper we present the new path integral representation for Hubbard model. We have constructed the new supercoherent state for spinless electrons which appears from a set of eigenfunctions of atomic limit of strongly correlated systems. Exact calculation of nonlinear representation of a supergroup has been carried. This group defines the transformation of atomic base. The general formalism we elaborate for Hubbard model is the one widely used in the gauge field theory of the nonlinear representation of a superconformal group.

研究の動機と目的

• 強い相関 Hubbard モデル、特にスピンなしの場合の新しい経路積分アプローチの開発。
• 超coherent状態を用いた強相関電子系の幾何的量子化枠組みの構築。
• Hubbard モデルの原子極限に由来する力学的超群の同定およびその非線形表現の特定。
• Hubbard 演算子と超スピン子 bundle 内の超共形群の非線形実現との関係の確立。
• 原子極限における超群生成子の厳密な計算を通じて、有効作用の導出の基盤を構築すること。

提案手法

• 強いU極限における Hubbard モデルの原子固有状態に基づき、ボソン的およびフェルミオン的 Grassmann 変数を併用して超coherent状態を構築する。
• 4次元時空多様体上に局所的スーパー束体を定義し、超coherent状態が力学的場を介して局所的スーパー座標をパrametrizeする。
• 超共形群の非線形表現を導入し、偶数部（ボソン的）がローレンツ群または SO(4) 生成子に対応し、奇数部（フェルミオン的）がそれを超群に拡張する。
• Cartan の微分1形式を用いて、超群構造から系のラグランジアンを導出する。
• 特にスピンなしの場合に、超群生成子の非線形表現を厳密に計算する。
• 級数展開および関数微分を用いて、双曲線関数および三角関数の関数としての閉形式解析的表現を導出し、超群生成子の行列要素を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hubbard モデルの原子極限は、ボソン的およびフェルミオン的自由度を統合する超coherent状態を用いてどのように再定式化可能か？
• RQ2 強い相関領域における Hubbard 演算子から生じる力学的超群の構造は何か？
• RQ3 スピンなしの場合に、この超群の非線形表現を厳密に計算する方法は何か？
• RQ4 幾何的量子化は、強相関電子系の有効場理論を構築する上で果たす役割は何か？
• RQ5 導出された超群生成子の行列要素は、Hubbard モデルの物理的観測量とどのように関係しているか？

主な発見

• 著者らは、超群生成子の行列要素について厳密な解析的表現を導出し、たとえば $ f_{1}EE = \frac{-2b\cosh(b) + 2b\cosh(h) + (b^{2}-h^{2})\sinh(b)}{2b(b^{2}-h^{2})^{2}} $ が得られ、これは超群の非線形表現を記述する。
• 超coherent状態形式において、行列要素の閉形式として $ fEE = \frac{2\sinh(h)b^{3} + h(b^{2}-h^{2})\cosh(b)b + (h^{3}-3b^{2}h)\sinh(b)}{2b^{3}h(b^{2}-h^{2})^{2}} $ が得られた。
• 2階微分 $ f_{2}EE $ は $ \frac{b(b^{2}-h^{2})\cosh(b) - (b^{2}+h^{2})\sinh(b) + 2bh\sinh(h)}{2b(b^{2}-h^{2})^{2}} $ として与えられ、非線形表現の整合性が確認された。
• $ f_{1}EE, f_{2}EE, f_{1}hh, f_{2}hh $ および高階微分の級数展開が、正確な双曲線関数に収束することが示され、解析的アプローチの妥当性が裏付けられた。
• 関数 $ f = \frac{\frac{\sinh(b)}{b^{3}} - \frac{\sinh(h)}{h^{3}}}{b^{2}-h^{2}} $、$ f_3 = \frac{\cosh(b) - \cosh(h)}{b^{2}-h^{2}} $、および $ f_4 = \frac{b\sinh(b) - h\sinh(h)}{b^{2}-h^{2}} $ は、超群行列要素の正確な表現であることが判明した。
• 結果として、超群の非線形表現が一貫しており、閉形式であることが確認され、今後の研究における有効汎関数の構築が可能になる。