[論文レビュー] New Permanent Estimators via Non-Commutative Determinants

Alexander Barvinok|ArXiv.org|Jul 25, 2000

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 8被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、有限次元の結合的代数上の行列に対して、多項式時間で計算可能な新しい非可換行列式、すなわち対称化行列式を導入する。この行列式を用いて、確率的恒等的推定器を構築し、特に行列代数 $\operatorname{Mat}(d,\mathbb{R})$ にガウス測度を備えた場合、推定誤差が $O(\gamma_d^n)$ 因子内で収束すると予想される。ここで $\gamma_d \to 1$ が $d \to \infty$ のとき成り立つため、代数次元が増加するにつれて集中性が向上すると示唆される。

ABSTRACT

We introduce a new notion of the determinant, called symmetrized determinant, for a square matrix with the entries in an associative algebra $Å$. The monomial expansion of the symmetrized determinant is obtained from the standard expansion of the commutative determinant by averaging the products of entries of the matrix in all possible orders. We show that for any fixed finite-dimensional associative algebra $Å$, the symmetrized determinant of an $n imes n$ matrix with the entries in $Å$ can be computed in polynomial in $n$ time (the degree of the polynomial is linear in the dimension of $Å$). Then, for every associative algebra $Å$ endowed with a scalar product and unbiased probability measure, we construct a randomized polynomial time algorithm to estimate the permanent of non-negative matrices. We conjecture that if $Å=\Mat(d, {\Bbb R})$ is the algebra of $d imes d$ real matrices endowed with the standard scalar product and Gaussian measure, the algorithm approximates the permanent of a non-negative $n imes n$ matrix within $O(γ_d^n)$ factor, where $\lim_{d \longrightarrow +\infty} γ_d=1$. Finally, we provide some informal arguments why the conjecture might be true.

研究の動機と目的

• 非可換行列式に基づく、従来の手法よりも集中性と計算効率に優れた恒等的推定器の新クラスを開発すること。
• 有限次元結合的代数上の行列に対する対称化行列式を定義・解析し、多項式時間での計算可能性を保証すること。
• 結合的代数上のスカラー積と不偏測度を用いて、非負行列の恒等的推定のための確率的多項式時間アルゴリズムを構築すること。
• 推定器が $\operatorname{Mat}(d,\mathbb{R})$ にガウス測度を備えた場合、$d$ の増加に伴い相対誤差が指数的に縮小すると予想されること。
• 対称化行列式の集中性がカイリー行列式よりも優れている理論的根拠を提供すること。

提案手法

• すべての置換における単項式積の平均として定義される対称化行列式を導入し、可換行列式を非可換代数へ一般化する。
• 任意の固定された有限次元結合的代数 $\mathcal{A}$ に対して、$\mathcal{A}$ 上の $n \times n$ 行列の対称化行列式は、$n$ に関して多項式時間で計算可能であり、$\dim \mathcal{A}$ に関しては線形の次数を持つことを証明する。
• ガウス測度を $\mathcal{A} = \operatorname{Mat}(d,\mathbb{R})$ に備えた場合、$n^2$ 個の行列 $u_{ij}$ をサンプリングし、$b_{ij} = u_{ij}\sqrt{a_{ij}}$ を用いて行列 $B$ を構成する。次に $\alpha = \|\operatorname{sdet} B\|^2 / \|\operatorname{sdet} E\|^2$ を計算する。ここで $E$ は $u_{ii}$ を対角成分とする対角行列である。
• 代数 $\mathcal{A}$ 上のスカラー積 $\langle a,b \rangle = \operatorname{Tr}(ab^t)$ を用いて、測度と推定器の構築のための内積空間を定義する。
• チェビシェフの不等式と測度集中のヒューリスティクスを適用し、推定器が恒等的推定値の周囲にきめ細かく集中することを議論する。
• 対称化行列式が $n!$ 個のカイリー行列式の平均であるという事実を活用し、個々のカイリー行列式よりも集中性が優れている可能性を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての行列要素の順序付けを平均化するような、非可換行列式を定義可能か。これにより、効率的な計算と恒等的推定が可能になるか。
• RQ2 $\operatorname{Mat}(d,\mathbb{R})$ 上のガウス測度を備えた対称化行列式は、$d$ の増加に伴い相対誤差が指数的に縮小する恒等的推定器を提供するか。
• RQ3 すべての行の置換について平均化されるという性質を考慮すると、対称化行列式推定器の集中性はカイリー行列式のそれと同等以上であるか。
• RQ4 対称化行列式のノルムの二乗の期待値を、計算可能な正規化係数を用いて恒等的推定に結びつけることができるか。
• RQ5 $d \to \infty$ のとき、近似係数 $\gamma_d^n$ の漸近的挙動は何か。そして、$\gamma_d \to 1$ に収束するか。

主な発見

• 固定された有限次元結合的代数 $\mathcal{A}$ 上の $n \times n$ 行列の対称化行列式は、$n$ に関して多項式時間で計算可能であり、$\dim \mathcal{A}$ に関しては線形の次数を持つ。
• スカラー積と不偏測度を備えた任意の結合的代数 $\mathcal{A}$ に対して、非負行列の恒等的推定を満たす確率的多項式時間アルゴリズムが構築可能であり、性質 (1.2.1)–(1.2.4) を満たす。
• 標準ガウス測度を備えた $\mathcal{A} = \operatorname{Mat}(d,\mathbb{R})$ を用いた推定器は、$\operatorname{per} A$ を $\gamma_d^n$ 因子内で近似すると予想される。ここで $\lim_{d \to \infty} \gamma_d = 1$ である。
• アルゴリズムの計算量は $O(n^{d^2 + 3})$ であり、行列代数の次元に比例して増加する。
• 理論的議論により、対称化行列式の集中性は、すべての置換について平均化される性質のおかげで、カイリー行列式のそれと同等以上であると示唆される。
• 対称化行列式のノルムの二乗の期待値を対角成分のケースで正規化すると、恒等的推定が保証される。