[論文レビュー] New perspective on sampling-based motion planning via random geometric graphs

Kiril Solovey, Oren Salzman+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2016

Robotic Path Planning Algorithms参考文献 70被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、ランダム幾何グラフ（RGG）の性質を活用して、サンプリングベースのモーションプランナの解析を行うためのローカリゼーション・テッセレーションフレームワークを導入する。RGGが複雑で障害物が存在する空間においても接続性と有界なストレッチを維持することを証明し、近似的に近傍探索を行う変種を含む、確率的マップ（PRM）の確率的完全性および漸近的（近似）最適性に関する、より単純で一般化された証明を可能にする。

ABSTRACT

Roadmaps constructed by many sampling-based motion planners coincide, in the absence of obstacles, with standard models of random geometric graphs (RGGs). Those models have been studied for several decades and by now a rich body of literature exists analyzing various properties and types of RGGs. In their seminal work on optimal motion planning Karaman and Frazzoli (2011) conjectured that a sampling-based planner has a certain property if the underlying RGG has this property as well. In this paper we settle this conjecture and leverage it for the development of a general framework for the analysis of sampling-based planners. Our framework, which we call localization-tessellation, allows for easy transfer of arguments on RGGs from the free unit-hypercube to spaces punctured by obstacles, which are geometrically and topologically much more complex. We demonstrate its power by providing alternative and (arguably) simple proofs for probabilistic completeness and asymptotic (near-)optimality of probabilistic roadmaps (PRMs). Furthermore, we introduce several variants of PRMs, analyze them using our framework, and discuss the implications of the analysis.

研究の動機と目的

• サンプリングベースのモーションプランナをランダム幾何グラフ（RGG）に結びつけることで、一般化された解析フレームワークを確立すること。
• カラマンとフラズオリが提起した予想（計画器の性質が、その背後にあるRGGの性質に由来する）を解明すること。
• PRMおよびその変種の確率的完全性および漸近的（近似）最適性に関する証明を、より単純かつ一般化すること。
• 幾何学的および位相的推論を用いて、自由空間から障害物を含む構成空間へのRGGの性質の拡張を実現すること。

提案手法

• ローカリゼーション（小さな近傍でのRGGの解析）とテッセレーション（複雑な領域への性質の拡張）から成るローカリゼーション・テッセレーションフレームワークを導入する。
• ローカリゼーションを用いて、任意の点の周囲の非常に小さな領域においても、RGGが接続性や有界なストレッチといった重要な性質を保持することを示す。
• テッセレーションを適用する際、自由空間を小さな管理可能な領域に分割し、局所的なRGGの性質がグローバルに拡張されることを証明する。
• 幾何確率と体積推定を用いて、立方体の境界付近の領域における積分を抑え、径方向積分と球体体積の関係を用いる。
• 既知のRGGの結果を活用し、RGGが特定の性質（例：接続性）を持つならば、それに対応するモーションプランナも同様の性質を有することを示す。
• 確率的接続戦略や近似的近傍探索を用いるPRMの変種を分析し、適切なサンプリング条件のもとで理論的保証を維持することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由空間におけるランダム幾何グラフ（RGG）の性質を、障害物を含む構成空間におけるRGGへと拡張できるか？
• RQ2 カラマンとフラズオリが提起した予想（サンプリングベースの計画器が、その背後にあるRGGの性質を継承する）は真実か？
• RQ3 ローカリゼーション・テッセレーションフレームワークは、PRMの確率的完全性および漸近的（近似）最適性に関する既存の証明を単純化・一般化できるか？
• RQ4 確率的または近似的な接続を用いるPRMの変種は、確率的完全性および漸近的最適性を維持するか？
• RQ5 複雑で障害物が多数存在する空間において、サンプリングベースの計画器が構築するロードマップが、接続性と近似的最適性を保つために必要な条件は何か？

主な発見

• ローカリゼーション・テッセレーションフレームワークにより、RGGが任意に小さな近傍においても接続性と有界なストレッチを維持することを証明し、複雑な領域への拡張が可能であることが示された。
• このフレームワークにより、従来の研究に比べて、標準的なPRMの確率的完全性および漸近的（近似）最適性に関する証明がより単純かつ直感的になった。
• 確率的接続戦略や近似的近傍探索を用いるPRMの変種も、適切なサンプリング条件のもとで、確率的完全性および漸近的（近似）最適性を達成することが保証された。
• 解析により、接続の計算が近似的であっても、サンプリングレートが対数的成長条件を満たしていれば、標準的なPRMが依然として頑健であることが示された。
• 任意の次元 $ d $ に対して、サンプリングレートが $ \tilde{\theta}(n) = \theta(\gamma \log n / n) $ と成長し、$ \gamma > (d+1)^{1/d} \gamma^* $ を満たすならば、$ n \to \infty $ のとき接続性の失敗確率は 0 に収束する。
• このフレームワークにより、障害物が存在する空間が局所的にRGGと同様に振る舞い、重要な位相的および幾何的性質を保持することを示した。