[論文レビュー] New perturbative method for solving the gravitational N-body problem in general relativity

Slava G. Turyshev, Viktor T. Toth|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2013

Pulsars and Gravitational Waves Research被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、弱い場とゆっくり動く条件の下で一般相対性理論における相対論的N体問題を解くための新しい摂動的手法を提案する。時空計量を慣性項、自己場項、相互作用項に分解し、調和ゲージ条件を用いることで、Poincaré群を加速する観測者にまで拡張する'post-Galilean座標変換'を導出し、全多極モーメント構造を含む一貫性のある相対論的運動方程式を得る。

ABSTRACT

We present a new approach to describe the dynamics of an isolated, gravitationally bound astronomical $N$-body system in the weak field and slow-motion approximation of the general theory of relativity. Celestial bodies are described using an arbitrary energy-momentum tensor and assumed to possess any number of internal multipole moments. The solution of the gravitational field equations in any reference frame is presented as a sum of three terms: i) the inertial flat spacetime in that frame, ii) unperturbed solutions for each body in the system that is covariantly transformed to the coordinates of this frame, and iii) the gravitational interaction term. We use the harmonic gauge conditions that allow reconstruction of a significant part of the structure of the post-Galilean coordinate transformation functions relating global coordinates of the inertial reference frame to the local coordinates of the non-inertial frame associated with a particular body. The remaining parts of these functions are determined from dynamical conditions, obtained by constructing the relativistic proper reference frame associated with a particular body. In this frame, the effect of external forces acting on the body is balanced by the fictitious frame-reaction force that is needed to keep the body at rest with respect to the frame, conserving its relativistic three-momentum. The resulting post-Galilean coordinate transformations have an approximate group structure that extends the Poincar'e group of global transformations to the case of accelerating observers in a gravitational field of $N$-body system. We present and discuss the structure of the metric tensors corresponding to the reference frames involved, the rules for transforming relativistic gravitational potentials, the coordinate transformations between frames and the resulting relativistic equations of motion.

研究の動機と目的

• 弱い場とゆっくり動く近似の下で、一般相対性理論における孤立系N体系を体系的にモデル化するための摂動的フレームワークを開発すること。
• 天体の内部構造に制限を設けずに、任意の内部多極モーメントを相対論的力学に組み込むこと。
• 各物体に対して一貫性のある相対論的固有参照枠を構築し、外部重力的力と見かけの慣性力（フレーム反作用力）のバランスを保ち、相対論的3次元運動量を保存すること。
• post-Galilean変換における近似的な群構造を通じて、重力的N体系における加速観測者にまでPoincaré群のグローバル対称性を拡張すること。
• N体系における異なる参照枠間での重力ポテンシャルおよび計量テンソルの変換則を明示的に導出すること。

提案手法

• 時空計量を3つの成分に分解する：慣性的平坦時空、個々の物体の共変的変換を施した自己場、重力的相互作用項。
• 調和ゲージ条件を課すことにより、グローバルな慣性座標系と各物体の局所的非慣性フレームを結ぶpost-Galilean座標変換関数の大部分を再構成可能にする。
• 残りの座標変換成分は、各物体の相対論的固有参照枠を構築するために導かれた力学的条件から決定される。
• 固有フレームにおいて、外部力と見かけのフレーム反作用力のバランスが保たれ、相対論的3次元運動量の保存が確保され、一貫性のある力学が可能になる。
• 本手法により、すべての関連する参照枠における計量テンソルの閉形式構造が得られ、相対論的重力ポテンシャルの変換則も提供される。
• 得られた運動方程式は、全多極モーメントを含み、すべてのフレーム間で一貫性を保つ、完全な相対論的力学から導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い場とゆっくり動く極限において、一般相対性理論におけるN体問題を、各物体の相対論的運動量保存を保ちつつ一貫して定式化する方法は何か？
• RQ2 重力的N体系における加速観測者にまでPoincaré群を拡張するpost-Galilean座標変換の構造は何か？
• RQ3 ゲージ不変かつ物理的に一貫した方法で、自己場と慣性的背景から重力的相互作用項を体系的に分離する方法は何か？
• RQ4 N体系におけるグローバルな慣性フレームと局所的固有参照フレーム間での相対論的重力ポテンシャルおよび計量テンソルの変換則は何か？
• RQ5 天体の任意の内部多極モーメントを、保存則に反しない形で相対論的運動方程式に一貫して組み込む方法は何か？

主な発見

• 本手法は、時空計量を物理的に意味のある3つの成分に成功裏に分解した：慣性的背景、自己場寄与、重力的相互作用項。
• 調和ゲージ条件により、post-Galilean変換関数の大部分を再構成可能であり、一貫性のあるフレーム変換が可能になる。
• 残りの変換成分が力学的に決定されることで、外部力と見かけのフレーム反作用力のバランスが保たれ、固有フレーム内での相対論的3次元運動量の保存が確保される。
• 得られたpost-Galilean変換は近似的な群構造を示し、Poincaré群をN体重力場内の加速観測者にまで一般化する。
• 相対論的重力ポテンシャルおよび計量テンソルの変換則を明示的に導出し、異なる参照枠間での一貫性ある力学を可能にする。
• 本手法により、全多極モーメントを含み、グローバルおよび局所的参照枠の両方で有効な自己一貫性のある相対論的運動方程式のセットが得られる。