[論文レビュー] New Planar Binomials in Characteristic Two

Sihuang Hu, Shuxing Li+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2013

Coding theory and cryptography被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、特徴が2の偶数である場合における擬平面関数の理論を拡張するために、特徴が2の3つの新しい類の擬平面的二項式を導入する。これらの二項式の構築により、著者たちはガロア環上の関連付けられたスキームと擬平面的関数との間の関係を確立し、偶数特徴における有限射影平面および組合せデザインの構築を前進させる。

ABSTRACT

Planar functions in odd characteristic were introduced by Dembowski and Ostrom in order to construct finite projective planes in 1968. They were also used in the constructions of DES-like iterated ciphers, error-correcting codes, and signal sets. Recently, a new notion of pseudo-planar functions in even characteristic was proposed by Zhou. These new pseudo-planar functions, as an analogue of planar functions in odd characteristic, also bring about finite projective planes. There are three known infinite families of pseudo-planar monomial functions constructed by Schmidt and Zhou, and Scherr and Zieve. In this paper, three new classes of pseudo-planar binomials are provided. Moreover, we find that each pseudo-planar function gives an association scheme which is defined on a Galois ring.

研究の動機と目的

• 新しい類の擬平面的二項式を導入することで、特徴が2の偶数における平面関数の理論を拡張すること。
• 特徴が2の擬平面的単項式の既知の無限族の数が少ないという問題に取り組むこと。
• 擬平面的関数とガロア環上に定義された関連付けられたスキームとの構造的関係を確立すること。
• 既知の結果を一般化する新しい代数的構築法を提供すること。これにより、有限幾何学および組合せデザイン理論が前進する。

提案手法

• 多項式写像の代数的性質を用いて、特徴が2の有限体上における新しい類の二項式関数を構築すること。
• 偶数特徴における特定の微分均一性条件の消えることによって、擬平面的条件を検証すること。
• ガロア環の代数的構造を活用して、擬平面的関数によって誘導される関連付けられたスキームを定義および分析すること。
• 既知の有限幾何学および符号理論の結果を応用して、構築された関数の組合せ的性質を検証すること。
• 関連する二次形式の核および像の構造を分析することで、擬平面的性を確認すること。
• 擬平面的関数と適切なランクのガロア環上の対称的関連付けられたスキームとの間の一対一対応を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知の単項式族を超えて、特徴が2の擬平面的二項式の新たな類は何か？
• RQ2 偶数特徴における擬平面的関数は、有限射影平面および組合せデザインとどのように関係しているか？
• RQ3 擬平面的関数を体系的にガロア環上の関連付けられたスキームと結びつけることができるか？
• RQ4 これらの新しい擬平面的関数の構築を支える代数的構造は何か？
• RQ5 これらの新しい二項式は、以前に知られていた擬平面的関数の族と比較して、構造的および性質的側面でどのように異なるか？

主な発見

• 特徴が2の3つの新しい無限族の擬平面的二項式が構築され、既知の族が単項式に限られていたことを拡張する。
• 本稿の各擬平面的関数は、特徴が2^rで残渣体サイズが2^nであるガロア環上に定義された対称的関連付けられたスキームを誘導する。
• 擬平面的関数から生じる関連付けられたスキームは、可換かつ対称的であり、明確に定義された交差数を持つことが示された。
• 構築により、偶数特徴における擬平面的条件が、ガロア環上に非常に構造的な組合せ的対象をもたらすことが明らかになった。
• 結果として、既存の平面的関数に類似する関数の構築を一般化し、有限幾何学および符号設計のための新しいツールを提供する。
• 擬平面的関数とガロア環に基づく関連付けられたスキームとの間のリンクは、このような関数を研究するための新しい代数的フレームワークを提供する。