[論文レビュー] New Polynomial Cases of the Weighted Efficient Domination Problem

Andreas Brandstädt, Martin Milanič+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$P_7$-freeおよび$2P_3$-freeグラフのいくつかの部分クラス、特に$(P_2+P_4)$-free、$P_5$-free、$P_6$-freeグラフにおいて、重み付き効率的支配問題（WED）の多項式時間アルゴリズムを提示する。また、次数が2以下の頂点のみを用いて最小重み効率的支配集合を求める問題が多項式時間で解けることを示し、平面的二部グラフで最大次数が3である通常のED問題のNP困難性とは対照的である。

ABSTRACT

Let G be a finite undirected graph. A vertex dominates itself and all its neighbors in G. A vertex set D is an efficient dominating set (e.d. for short) of G if every vertex of G is dominated by exactly one vertex of D. The Efficient Domination (ED) problem, which asks for the existence of an e.d. in G, is known to be NP-complete even for very restricted graph classes. In particular, the ED problem remains NP-complete for 2P3-free graphs and thus for P7-free graphs. We show that the weighted version of the problem (abbreviated WED) is solvable in polynomial time on various subclasses of 2P3-free and P7-free graphs, including (P2+P4)-free graphs, P5-free graphs and other classes. Furthermore, we show that a minimum weight e.d. consisting only of vertices of degree at most 2 (if one exists) can be found in polynomial time. This contrasts with our NP-completeness result for the ED problem on planar bipartite graphs with maximum degree 3.

研究の動機と目的

• 重み付き効率的支配問題（WED）が多項式時間で解けるとされる新しいグラフクラスを同定すること。
• 木やコメパラビリティグラフといった既に研究済みのクラスを超えて、WED問題の既知の tractable なケースを拡張すること。
• 次数が2以下の頂点に制限された効率的支配集合の複雑さを調査すること。
• 既存のNP困難性結果を強化し、平面的二部グラフで最大次数が3で任意の周長をもつ場合でもED問題がNP困難であることを示すこと。

提案手法

• 著者らは、入力グラフクラスの明示的同定を必要としない、強固な多項式時間アルゴリズムを設計した。代わりに、WED問題を解くか、グラフがターゲットクラスに属さないことを検出する。
• 特定の$P_k$-freeおよび$2P_3$-freeグラフクラスにおけるWED問題を、経路およびサイクル構造に基づく動的計画法や構造的分解技術に還元した。
• 次数2制限付き効率的支配集合のケースでは、有界次数を持つ導出グラフ構造上のマッチングに類似した問題への還元を用いた。
• One-In-Three 3SAT問題からの還元によりNP困難性を証明した。任意の$g \geq 3$に対して、最大次数3で周長が少なくとも$g$である平面的二部グラフを構築した。
• 構成では、変数ノードを長さ$6m$の長いパスに、エッジを長さ$6g+1$のパスに置き換えた。これにより、平面性と次数制約が保持された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(P_2+P_4)$-freeグラフにおいて、重み付き効率的支配問題は多項式時間で解けるか？
• RQ2 次数が2以下の頂点のみからなる最小重み効率的支配集合を求める多項式時間アルゴリズムは存在するか？
• RQ3 最大次数が3の平面的二部グラフにおける効率的支配問題のNP困難性は、任意の周長をもつ場合にまで拡張可能か？
• RQ4 入力グラフクラスの事前同定を必要とせず、WED問題のための強固なアルゴリズムを$P_7$-freeおよび$2P_3$-freeグラフクラスに設計できるか？

主な発見

• WED問題は、$(P_2+P_4)$-freeグラフ、$P_5$-freeグラフ、および$P_7$-freeおよび$2P_3$-freeグラフの他の部分クラスにおいて多項式時間で解ける。
• 一般にED問題が平面的二部グラフで最大次数3の下でNP困難であるのに対し、次数が2以下の頂点のみを用いた最小重み効率的支配集合は多項式時間で求められる。
• 任意の周長$g \geq 3$をもつ平面的二部グラフで最大次数3のED問題は、One-In-Three 3SATからの還元によりNP困難のままであることが示された。
• 提案されたアルゴリズムは強固である。入力グラフがターゲットクラスに属するかどうかを事前に認識する必要がなく、実行中に所属関係を同定する。
• 還元グラフ$G(F)$の構築により、平面性、最大次数3、および周長が少なくとも$g$が保証され、これらの制約下でもED問題のNP困難性が維持された。