[論文レビュー] New Presentations of Thompson's Groups and Applications

Uffe Haagerup, Gabriel Picioroaga|ArXiv.org|Dec 1, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、トムソン群 F、その交換子部分群 F′、および中間群 D に対する新しい無限表示を提示する。これらは同一の関係式を共有するが生成集合が異なる。これらの表示を用いて、F′ がコスト 1 であることを証明し、F のアメニタリティ問題を解けるかどうかを示すのには寄与しない。さらに、L(F′) は内部漸近アーベル的であり、F の縮小 C*-代数は再帰的有限次元的でないことが示される。

ABSTRACT

We find new presentations for the Thompson's groups $F$, the derived group $F^{'}$ and the intermediate group $D$. These presentations have a common ground in that their relators are the same and only the generating sets differ. As an application of these presentations we extract the following consequences: the cost of the group $F^{'}$ is 1 hence the cost cannot decide the (non)amenability question of $F$; the $II_1$ factor $L(F^{'})$ is inner asymptotically abelian and the reduced $C^*$-algebra of $F$ is not residually finite dimensional.

研究の動機と目的

• F、F′、D に対して、同一の関係式を共有するが生成集合が異なる新しい無限表示を提供すること。
• F′ のコストを調査し、F のアメニタリティに与える含意を明らかにすること。
• 群 von Neumann 代数 L(F′) が内部漸近アーベル的であるかどうかを特定すること。
• F の縮小 C*-代数の再帰的有限次元性を分析すること。
• 新しい表示が正規部分群および群不変量に与える構造的含意を探索すること。

提案手法

• 同一の関係式を用い、生成集合を変化させることで、F、F′、D に対する新しい無限表示を構成する。
• F′ の新しい表示を用い、ガボリアウのコスト理論を適用する。特に、無限共役集合を有する増大和においてコストが保存されることを用いる。
• 内部漸近アーベル性の定義を、内部 ∗-自己同型の列を用いて定式化し、L(F′) が性質 Γ より強い性質を満たすことを示す。
• 背理法により C*r(F) の再帰的有限次元性を証明する。忠実な有限次元表現が存在すると仮定すると、共役代数の鎖により無限次元代数が得られ、矛盾が生じる。
• F′ が単純かつ非アーベル的であることを利用し、任意の非自明な正規部分群は F′ を含むことから、コストが 1 であることを示す。
• |i-j| ≥ 2 のときの生成元 (g_i, g_j) 間の可換関係を用い、有限次元代数に無限次元の共役代数鎖を構成し、矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 F、F′、D に対して、関係式を統一するが生成集合が異なる新しい無限表示は何か？
• RQ2 F′ のコストは 1 に等しいか？ これは F のアメニタリティにどのような含意を持つのか？
• RQ3 II₁ 因子 L(F′) は内部漸近アーベル的か？
• RQ4 F の縮小 C*-代数は再帰的有限次元的か？
• RQ5 F の任意の非自明な正規部分群のコストは 1 か？

主な発見

• 導来群 F′ はコスト 1 である。これは、F のアメニタリティを区別するためのコストだけでは不十分であることを示唆する。
• II₁ 因子 L(F′) は内部漸近アーベル的である。これは、マクダフ性や性質 Γ よりも強い性質である。
• F の縮小 C*-代数は再帰的有限次元的でない。クェイジダイアノーリティより弱いが、アメニタリティの問題に対して依然として有意義な結果である。
• F の任意の非自明な正規部分群はコスト 1 を有する。これは F′ が単純かつコスト 1 であることによる。
• 全 C*-代数 C*(F) に対しても再帰的有限次元的でないことが示され、有限次元表現に対する同じ背理的議論により証明される。
• 非再帰的有限次元性の証明は、有限次元代数内に無限共役鎖を構成することで行われ、代数が無限次元でなければ矛盾が生じる。