[論文レビュー] New Quantum MDS codes constructed from Constacyclic codes

Liangdong Lü, Wenping Ma+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限体上の等長循環コードを用いたヘルミート構成により、新しい量子MDSコードを構築する。特定の素数べきパラメータ $ q = 2am + t $ と $ n = \frac{q^2 + 1}{a} $ の形をとる場合、最小距離が $ \frac{q}{2} + 1 $ を超える量子MDSコードを生成する。これらはほとんどが既存の文献でカバーされていない新規のものである。

ABSTRACT

Quantum maximum-distance-separable (MDS) codes are an important class of quantum codes. In this paper, using constacyclic codes and Hermitain construction, we construct some new quantum MDS codes of the form $q=2am+t$, $n=\frac{q^{2}+1}{a}$. Most of these quantum MDS codes are new in the sense that their parameters are not covered be the codes available in the literature.

研究の動機と目的

• 既存の文献を超えるパラメータを有する新しい量子MDSコードの構築を目的とする。
• 特定の $ q $ および $ a $ に対して、$ \mathbb{F}_{q^2} $ 上の双対を含む等長循環コードの存在を調査すること。
• 長さ $ n = \frac{q^2 + 1}{a} $ の等長循環コードへのヘルミート構成の拡張を目的とする。
• 巡回的コセットが非歪対称である条件を同定し、$ \mathcal{C}^{\perp_h} \subseteq \mathcal{C} $ を保証すること。
• パラメータ $ [[n,k,d]]_q $ の明示的族を提供し、$ d > \frac{q}{2} + 1 $、$ n = \frac{q^2 + 1}{a} $、$ a \mid (t^2 + 1) $ を満たす量子MDSコードを構成すること。

提案手法

• ヘルミート構成を用いる：$ \mathcal{C}^{\perp_h} \subseteq \mathcal{C} $ ならば、$ [[n, 2k - n, \geq d]]_q $ の量子コードが存在する。
• $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上の長さ $ n = \frac{q^2 + 1}{a} $ の $ \eta $-等長循環コードを、特定の定義集合 $ T = \bigcup_{i=0}^{\delta} C_{s + (q+1)i} $ を用いて構築する。
• 巡回的コセットを $ n $ を法として用い、定義集合の構造を解析し、非歪対称性を検証する。
• $ q = 2am + t $ に制約を課し、$ a \in \{13,17,25,29,37,41\} $ かつ $ a \mid (t^2 + 1) $ とすることで、双対を含むコードの存在を保証する。
• 定義集合 $ T $ に歪対称な巡回的コセットが存在しないことを確認し、これにより $ \mathcal{C}^{\perp_h} \subseteq \mathcal{C} $ が保証される。
• 量子シングルトン境界を適用してMDS性を確認し、$ d $ が偶数で指定された範囲内にある $ [[n, n - 2d + 2, d]]_q $ のパラメータを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上の等長循環コードを用いて、これまでに知られているものより大きな最小距離を有する新しい量子MDSコードを構築できるか？
• RQ2 $ q = 2am + t $ および $ a $ がどのような条件下で、$ \eta $-等長循環コードが $ \mathcal{C}^{\perp_h} \subseteq \mathcal{C} $ を満たすか？
• RQ3 $ a \in \{13,17,25,29,37,41\} $ である長さ $ n = \frac{q^2 + 1}{a} $ の量子MDSコードにおいて、達成可能な最小距離 $ d $ の最大値は何か？
• RQ4 構築されたコードは、多数の既存の量子MDSコードで観察される $ d \leq \frac{q}{2} + 1 $ の制限を超えるか？
• RQ5 パラメータ $ [[\frac{q^2 + 1}{a}, \frac{q^2 + 1}{a} - 2d + 2, d]]_q $ を有する構築済みの量子MDSコードは、既存の文献でカバーされていない意味で新規であるか？

主な発見

• $ q = 26m + 5 $ の場合、$ 2 \leq d \leq 10m + 2 $ で偶数である $ [[\frac{q^2 + 1}{13}, \frac{q^2 + 1}{13} - 2d + 2, d]]_q $ の量子MDSコードの族が存在する。
• $ q = 26m + 21 $ の場合、$ 2 \leq d \leq 10m + 8 $ で偶数である $ [[\frac{q^2 + 1}{13}, \frac{q^2 + 1}{13} - 2d + 2, d]]_q $ の量子MDSコードの族が存在する。
• $ q = 34m + 13 $ の場合、$ 2 \leq d \leq 10m + 4 $ で偶数である $ [[\frac{q^2 + 1}{17}, \frac{q^2 + 1}{17} - 2d + 2, d]]_q $ の量子MDSコードの族が存在する。
• $ q = 34m + 21 $ の場合、$ 2 \leq d \leq 10m + 6 $ で偶数である $ [[\frac{q^2 + 1}{17}, \frac{q^2 + 1}{17} - 2d + 2, d]]_q $ の量子MDSコードの族が存在する。
• $ q = 50m + 7 $ の場合、$ 2 \leq d \leq 14m + 2 $ で偶数である $ [[\frac{q^2 + 1}{25}, \frac{q^2 + 1}{25} - 2d + 2, d]]_q $ の量子MDSコードの族が存在する。
• $ q = 82m + 9 $ の場合、$ 2 \leq d \leq 18m + 2 $ で偶数である $ [[\frac{q^2 + 1}{41}, \frac{q^2 + 1}{41} - 2d + 2, d]]_q $ の量子MDSコードの族が存在し、$ q = 82m + 73 $ の場合、$ 2 \leq d \leq 18m + 16 $ で偶数である。