[論文レビュー] New Recurrence Relationships between Orthogonal Polynomials which Lead to New Lanczos-type Algorithms

Muhammad Farooq, Abdellah Salhi|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2014

Matrix Theory and Algorithms参考文献 33被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、線形方程式系を解くための新しいランチョス型アルゴリズムを開発するために、形式的正規直交多項式（FOPs）の間の新しい再帰関係を導入する。従来の次数差制約を越えて、$A_{12}, A_{13}, A_{16}, A_{19}, B_{13}, B_{15}, B_{16}$ といった、これまでに未発見の再帰構造を同定した。これらは数学的に妥当であり、アルゴリズム実装に適している。その結果、安定性および収束性の向上が期待される新たなランチョス法のバリエーションが可能となる。

ABSTRACT

Lanczos methods for solving $ extit{A} extbf{x}= extbf{b}$ consist in constructing a sequence of vectors $( extbf{x}_k), k=1,...$ such that $ extbf{r}_{k}= extbf{b}- extit{A} extbf{x}_{k}= extit{P}_{k}( extit{A}) extbf{r}_{0}$,, where $ extit{P}_{k}$ is the orthogonal polynomial of degree at most $k$ with respect to the linear functional $c$ defined as $c(ξ^i)=( extbf{y}, extit{A}^i extbf{r}_{0})$. Let $ extit{P}^{(1)}_{k}$ be the regular monic polynomial of degree $k$ belonging to the family of formal orthogonal polynomials (FOP) with respect to $c^{(1)}$ defined as $c^{(1)}(ξ^{i})=c(ξ^{i+1})$. All Lanczos-type algorithms are characterized by the choice of one or two recurrence relationships, one for $ extit{P}_{k}$ and one for $ extit{P}^{(1)}_{k}$. We shall study some new recurrence relations involving $ extit{P}_{k}$ and $ extit{P}^{(1)}_{k}$ and their possible combination to obtain new Lanczos-type algorithms. We will show that some recurrence relations exist, but cannot be used to derive Lanczos-type algorithms, while others do not exist at all.

研究の動機と目的

• 標準的な次数差制約を超えて、形式的正規直交多項式（FOPs）$P_k$ と $P_k^{(1)}$ の間の新しい再帰的関係を探索すること。
• これらの新しい再帰関係のうち、数学的に妥当であり、ランチョス型アルゴリズムを構築するために使用可能なものを特定すること。
• 正規直交性および正規化条件を満たしても、残差ベクトル $\mathbf{r}_k$ と反復ベクトル $\mathbf{x}_k$ の計算に不適切な関係を同定および除外すること。
• 新しい再帰関係を、存在するが使用不能な関係、そもそも存在しない関係、およびアルゴリズム設計に適した関係の3つに分類すること。
• 有効な $A_i/B_j$ 再帰ペアの組み合わせを通じて、新しいランチョス型アルゴリズムを体系的に生成するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 従来の1または2の次数差にとどまらず、両側の多項式の次数差が最大3まで拡張された形式的正規直交多項式（FOP）フレームワークを拡張して、再帰関係を分析する。
• 正規直交性および正規化条件を用いて、$P_k(x)$ 用の再帰関係 $A_i$ と $P_k^{(1)}(x)$ 用の再帰関係 $B_j$ を導出し、評価する。
• 線形関数 $c^{(1)}(\xi^i) = c(\xi^{i+1})$ を適用して、$P_k^{(1)}$ の内積構造を定義し、再帰的構成を可能にする。
• 係数一致および正規直交性制約を用いて、高次再帰における再帰係数（例：$C_k, D_k, F_k, G_k$）の連立式を導出する。
• 係数系の可解性を評価するため、行列式分析（$\Delta'_k$）を用い、有効な再帰構成のための非特異性を保証する。
• $A_{13}/B_{13}$、$A_{16}/B_{16}$、$A_{19}/B_{15}$ といったアルゴリズム的組み合わせを提案し、有効な再帰ペアから新たなランチョス型ソルバーを生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な次数差制約を超えて、形式的正規直交多項式 $P_k$ と $P_k^{(1)}$ の間で存在する新しい再帰関係は何か？
• RQ2 新たに同定された再帰関係のうち、数学的に妥当だがランチョス型アルゴリズムの実装に不適切なものは何か？
• RQ3 正規直交性または正規化条件の違反により、存在しないとされる再帰関係は何か？
• RQ4 有効な再帰ペア（$A_i/B_j$）を体系的に組み合わせることで、新たなランチョス型アルゴリズムを生成できるか？
• RQ5 FOPに基づくランチョス法における高次再帰係数系の可解性および安定性を保証する条件は何か？

主な発見

• 関係 $A_{11}, A_{17}, B_{11}, B_{12}$ は、正規直交性および正規化における根本的な不整合のため存在しない。
• 関係 $A_{14}, A_{15}, A_{18}, B_{14}$ は数学的に存在するが、有効な $\mathbf{r}_k$ および $\mathbf{x}_k$ ベクトルを生成できないため、ランチョス型アルゴリズムでは使用できない。
• 関係 $A_{12}, A_{13}, A_{16}, A_{19}, B_{13}, B_{15}, B_{16}$ は、数学的に妥当であり、アルゴリズム実装に適している。
• 関係 $A_{12}$ は自己完結的であり、[10:Salhi] で示されるように、単独で新たなランチョス型アルゴリズムを生成できる。
• 有効なアルゴリズム的組み合わせには、$A_{13}/B_{13}$、$A_{13}/B_{15}$、$A_{13}/B_{16}$、$A_{16}/B_{13}$、$A_{16}/B_{15}$、$A_{16}/B_{16}$、$A_{19}/B_{13}$、$A_{19}/B_{15}$、$A_{19}/B_{16}$ が含まれ、これらすべてが新たなランチョス型ソルバーをもたらす。
• 再帰係数系の可解性は、行列式 $\Delta'_k$ の非ゼロ性によって決定され、係数 $D_k, F_k, G_k$ の一意解が保証される。