[論文レビュー] New Reductions and Nonlinear Systems for 2D Schrodinger Operators

P. G. Grinevich, А. Миронов+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、2次元シュレーディンガー作用素のための L-A-B 三重項に基づき、非標準的還元を有する新しい可積分な (2+1)次元非線形系を提案する。この還元はバーガース方程式を一般化する。$S=0$ 還元では線形化可能であり、ブロッホ＝フロケー多様体内での複素代数曲線上に新しい代数幾何的解が得られる。主な結果として、自己随伴でない作用素においても非自明な定常解が存在し、自己随伴作用素に対しては定常エネルギー曲線のみが存在するとする予想に反する。

ABSTRACT

New Completely Integrable (2+1)-System is studied. It is based on the so-called L-A-B-triples $L_t=[H,L]-fL$ where L is a 2D Schrodinger Operator. This approach was invented by S.Manakov and B.Dubrovin, I.Krichever, S.Novikov(DKN) in the works published in 1976. A nonstandard reduction for the 2D Schrodinger Operator (completely different from the one found by S.Novikov and A.Veselov in 1984) compatible with time dynamics of the new Nonlinear System, is studied here. It can be naturally treated as a 2D extension of the famous Burgers System. The Algebro-Geometric (AG) Periodic Solutions here are very specific and unusual (for general and reduced cases). The reduced system is linearizable like Burgers. However, the general one (and probably the reduced one also) certainly lead in the stationary AG case to the nonstandard examples of algebraic curves $Γ\subset W$ in the full complex 2D manifold of Bloch-Floquet functions W for the periodic elliptic 2D operator H where $Hψ(x,y,P)=λ(P)ψ(x,y,P),P\in Γ$. However, in the nontrivial case the operators are nonselfadjoint. A Conjecture is formulated that for the nontrivial selfadjoint elliptic 2D Schrodinger operators H with periodic coefficients The Whole 2D Complex Manifolds W cannot not contain any Zariski open part of algebraic curve $Γ$ except maybe one selected level $Hψ=const$ found in 1976 by DKN. Version 2 contains new results. It also corrects some non-accurate claims; in particular, the non-reduced system is non-linearizable in any trivial sense. In version 3 a misprint in the formulation of Theorem 1 was corrected.

研究の動機と目的

• 2次元シュレーディンガー作用素のための L-A-B 三重項に基づく、完全可積分な (2+1)次元系の新規クラスの構築。
• Novikov-Veselov らの従来の還元とは異なる、時間ダイナミクスと整合する非標準的還元の同定と研究。
• 一般化された系の代数幾何的周期的解の構成およびブロッホ＝フロケー多様体内でのその構造の分析。
• 非自己随伴作用素に対して、全複素ブロッホ＝フロケー多様体 $W$ 内に非自明な代数曲線が存在しうるかを調査し、自己随伴作用素に対しては定常エネルギー曲線のみが存在するとする予想に反論すること。

提案手法

• L-A-B 三重項の形式的定式化: $L_t = [H,L] - fL$、ここで $L = \partial_x\partial_y + G\partial_y + S$、$H = \partial_x^2 + \partial_y^2 + F\partial_y + A$、$f = 2G_x - F_y$。
• $G' = 0$ のゲージ条件の導入により、$G$, $S$, $F$, $A$ の微分的制約 $F_x = 2G_y$, $A_y = 2S_x$ の下での系の簡略化と時間発展方程式の導出。
• $S=0$ 還元による $B_2$-系の導入。この系は $G = -( abla \log c)_x$, $F = -2( abla \log c)_y$, $A = -2u_x$ の代入により線形化可能であることが示される。
• 指数的漸近挙動を有する無 Singular 代数曲線 $\Gamma'$ 上での代数幾何的解 $\psi(x,y,t,P)$ の構成。$\Gamma'$ には固定除法点 $D'$ における極が存在する。
• 逆スペクトルデータの使用: 2つの無限遠点 $P_1, P_2$ を持つ曲線 $\Gamma'$、次数 $g'+k$ の一般的除法点 $D'$、および正規化条件 $\psi(0,0,0,P)=1$。
• $y$-非依存解に対して有効な線形化 $B_2$ 系の基本方程式 $c_t - c_{xx} + c_{yy} = (\Phi(y,t) + A(x,t))c$ の導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元シュレーディンガー作用素のための L-A-B 三重項を用いて、非自明な時間発展を有する新しい可積分な (2+1)次元系を構築可能か？
• RQ2 $S=0$ 還元により、バーガース方程式の2次元拡張が得られ、線形化可能であるか。その解構造はいかなるものか？
• RQ3 一般化された系の定常系において、代数曲線 $\Gamma \subset W$ 上に非自明な代数幾何的解が存在しうるか、特に作用素が自己随伴でない場合に限っても。
• RQ4 1976年に DKN が同定した定常エネルギー曲線以外に、自己随伴2次元楕円型作用素の全複素ブロッホ＝フロケー多様体 $W$ に、代数曲線 $\Gamma$ のZariski開部分集合が存在しうるか？

主な発見

• $S=0$ 還元により定義される $B_2$-系は、変換 $c = \exp(-\int G dx)$ を通じて線形化可能であり、方程式 $c_t - c_{xx} + c_{yy} = (\Phi(y,t) + A(x,t))c$ を得る。
• 還元系は $c = \sum_i c'_i(x,t) c''_i(y,t)$ の形の解を有し、各 $c'_i$ と $c''_i$ は別々の1次元熱方程式を満たし、非自明な $c$-依存係数 $F$ と $G$ を得る。
• 指数的挙動を有する無 Singular 曲線 $\Gamma'$ 上に代数幾何的解 $\psi$ が存在し、$P_2$ で指数的漸近挙動を示し、固定除法点 $D'$ に極を持つ。$L\psi = 0$ および $(\partial_t - H)\psi = 0$ を満たす。
• 定常系において、作用素が自己随伴でない場合でも、$H\psi = \lambda\psi$ で $\lambda \neq \text{const}$ となる非自明な代数曲線 $\Gamma' \subset W$ の例が得られる。
• $S \neq 0$ の全系は、任意の自明な意味で線形化可能ではなく、$B_2$-系とは対照的である。
• 非自明な自己随伴2次元楕円型シュレーディンガー作用素で周期的係数を持つ場合、$W$ に定常エネルギー曲線（DKN が1976年に同定）以外の代数曲線 $\Gamma$ のZariski開部分集合を含むことは不可能であると予想される。