[論文レビュー] New regular non compact Calabi-Yau metrics in D=6

Osvaldo P. Santillán|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2009

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、特定のアンザッツを用いて非線形系を1変数方程式に簡略化することで、6次元における明示的な非コンパクトなカラビ＝ヤウ計量を構成する手法を提示する。このアプローチは、先行研究を一般化し、無限個のこのような計量を生成する。その中には、計量的・曲率的特異点がなく、測地線的完全性を満たす部分族も含まれる。

ABSTRACT

A method for constructing explicit Calabi-Yau metrics in six dimensions in terms of an initial hyperkahler structure is presented. The equations to solve are non linear in general, but become linear when the objects describing the metric depend on only one complex coordinate of the hyperkahler 4-dimensional space and its complex conjugated. This situation in particular gives a dual description of D6-branes wrapping a complex 1-cycle inside the hyperkahler space [9]. The present work generalize the construction given in that reference. But the explicit solutions we present correspond to the non linear problem. This is a non linear equation with respect to two variables which, with the help of some specific anzatz, is reduced to a non linear equation with a single variable solvable in terms of elliptic functions. In these terms we construct an infinite family of non compact Calabi-Yau metrics. The interesting outcome is that it includes an infinite subfamily without metric or curvature singularities and therefore geodesically complete. Contents

研究の動機と目的

• 6次元におけるカラビ＝ヤウ計量の先行構成を一般化し、線形化された場合を越えた解のクラスへ拡張すること。
• D=6におけるカラビ＝ヤウ計量の構成における非線形方程式を解く挑戦に取り組むこと。
• 計量的および曲率的特異点が存在しない解の部分族を同定し、測地線的完全性を保証すること。
• 1つの複素座標に依存する還元技術に基づき、明示的かつ非コンパクトなカラビ＝ヤウ計量を構築すること。

提案手法

• 4次元空間上の初期のハイパーカイラー構造を出発点とし、計量構成の幾何的基盤を提供する。
• カラビ＝ヤウ計量を記述する非線形方程式は、リッチ平坦性とホロノミーの低下を要求することから導出される。
• 特定のアンザッツを導入し、計量成分が1つの複素座標とその共役にのみ依存するように制限することで、系を1変数問題に還元する。
• 得られた非線形方程式は、楕円関数を用いて解かれ、計量成分の明示的構成が可能になる。
• 解法手順により、得られる計量がリッチ平坦であり、6次元におけるカラビ＝ヤウ条件を保つことが保証される。
• 一部の解に対して、曲率的および計量的特異点が存在しないことを検証することで、構成の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D=6におけるカラビ＝ヤウ計量の非線形方程式系を、対称性の制約を用いて解ける形に還元できるか？
• RQ2 非コンパクトなカラビ＝ヤウ計量において、計量的・曲率的特異点が存在しない条件は何か？
• RQ3 ハイパーカイラー初期データを用いて、6次元における明示的かつ測地線的完全なカラビ＝ヤウ計量をどのように構成できるか？
• RQ4 1つの複素座標に依存する性質が、非線形運動方程式の簡略化に果たす役割は何か？
• RQ5 この方法により、無限個のこのような計量を体系的に生成できるか？

主な発見

• 非線形還元技術を用いて、6次元における非コンパクトなカラビ＝ヤウ計量の無限族が明示的に構成された。
• 計量的および曲率的特異点が存在せず、測地線的完全性を満たす解の部分族が得られた。
• 特定のアンザッツにより非線形方程式が1変数問題に還元され、楕円関数を用いて解けるようになった。
• 線形領域を超えて非線形解を含むように拡張することで、以前の結果を一般化した。
• 得られた計量は、ハイパーカイラー空間内での複素1次元サイクルをラップするD6-braneの双対記述を許容する。
• 非コンパクトなカラビ＝ヤウ多様体において、望ましい幾何的性質を持つものが、ハイパーカイラーデータから体系的に生成可能であることが示された。