[論文レビュー] New relations between analyticity, Regge trajectories, Veneziano amplitude, and Moebius transformations

Abdur Rahim Choudhary|ArXiv.org|Feb 5, 2001

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、リーマン球面へのコンformal写像を介して、正則性、レッジ軌道、ヴェネツィアーノ振幅を結びつける幾何的枠組みを確立する。上半s平面をシュバルツ＝クリストッフェルおよびリーマン＝シュバルツ関数を用いて三角形に写像することで、閾値および漸近的エネルギーにおけるレッジ軌道関数の値を三角形の角に関連づけ、レッジ関数とメビウス変換群の生成子との直接的な関係を明らかにし、ヴェネツィアーノ模型をより広範な自己同型関数論の枠組みに埋め込む。これはゴーストの除去およびポメランチューク軌道に及ぼす影響を示唆する。

ABSTRACT

In this paper we use the analyticity properties of the scattering amplitude in the context of the conformal mapping techniques. The Schwarz-Christoffel and Riemann-Schwarz functions are used to map the upper half -plane onto a triangle. We use the known asymptotic and threshold behaviors of the scattering amplitude to establish a connection between the values of the Regge trajectory functions and the angles of the triangle. This geometrical interpretation allows a link between values of the Regge trajectory functions and the generators of the invariance group of Moebius transformations associated with the underlying automorphic function. The formalism provides useful new relations between analyticity, geometry, Regge trajectory functions, Veneziano model, groups of Moebius transformations and automorphic functions. It is hoped that they will provide avenues for further work.

研究の動機と目的

• コンフォーマル写像技術を用いてヴェネツィアーノ振幅の幾何的解釈を確立すること。
• 物理的閾値および漸近的エネルギーにおけるレッジ軌道関数の値を、ω平面における三角形の角に関連付けること。
• 散乱振幅の解析的構造を、自己同型関数を介してメビウス変換群の生成子と結びつけること。
• ゴーストの除去条件およびポメランチューク軌道を、コンフォーマル写像枠組みから生じる幾何的制約として導出すること。
• リーマン＝シュバルツ三角関数および超幾何関数表現を用いて、非ユークリッド幾何学に一般化すること。

提案手法

• シュバルツ＝クリストッフェルおよびリーマン＝シュバルツコンフォーマル写像技術を用いて、上半s平面をω平面における三角形に写像する。
• 不完全Eulerのベータ関数を写像関数ω(z)として用い、三角形の内角から導かれる角度A, B, Cでパラメータ化する。
• 散乱振幅の漸近的挙動を、z = ∞近傍におけるω(z)の挙動と関連づけ、指数Cをtチャネルのレッジ軌道関数α(t)に関連付ける。
• z = 1近傍の閾値挙動を用いて、指数Bをsチャネルのレッジ軌道関数α(s)に関連付け、B = π⁻¹∠DEFとする。
• ユークリッド幾何学における制約A + B + C = 1を適用し、ゴーストの除去条件および単位インターセプトを有するポメランチューク軌道を導出する。
• A + B + C < 1のとき、リーマン＝シュバルツ三角関数および超幾何関数表現を用いて非ユークリッド幾何学に一般化する。これは、無限位数の生成子を有する離散的メビウス群に対応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴェネツィアーノ振幅の正則性および閾値／漸近的挙動は、どのようにコンフォーマル写像を通じて幾何的に解釈できるか？
• RQ2 物理的閾値におけるレッジ軌道関数の値と、写像された三角形の角との間の明確な関係は何か？
• RQ3 メビウス不変性群の生成子は、コンフォーマル写像の幾何的構造からどのように導かれるか？
• RQ4 ゴーストの除去条件およびポメランチューク軌道は、この枠組みにおいて幾何的制約として導出可能か？
• RQ5 自己同型関数および非ユークリッド幾何学は、標準ヴェネツィアーノ模型を超えた形式の拡張において果たす役割は何か？

主な発見

• 振幅の漸近的挙動から、tチャネルのレッジ軌道関数がα(t) = 1 − Cを満たすことが示され、Cはω平面における三角形の頂点Fにおける角に比例する。
• sチャネルの閾値挙動からα(s) = 1 − Bが得られ、Bは頂点Eにおける角に比例し、レッジ関数と三角形幾何学との直接的な関係を確立する。
• A + B + C = 1（ユークリッドの場合）の条件は、ゴーストの除去条件を導き、振幅に物理的でない極が存在しないことを保証する。
• ポメランチューク軌道は、幾何的制約の結果として現れ、単位インターセプトを有し、高エネルギーで振幅が有限のまま保たれる要件と整合する。
• A + B + C < 1（非ユークリッドの場合）では、形式は離散的メビウス群に一般化され、無限位数の生成子を有するものとなる。写像関数は、超幾何関数を用いて表現されるリーマン＝シュバルツ三角関数に変わる。
• メビウス群の生成子は、閾値におけるレッジ軌道関数の値と関連し、s₀およびu₀においてのみ逆整数値をとることを制約する。