[論文レビュー] New results for the growth of sets of real numbers

Timothy G. F. Jones|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、交比に基づく新しい3変数・4変数・5変数の実数値関数を導入し、これまでに知られていたものよりも、実数の有限部分集合の像集合に対してより強い成長上限を得る。Guth-Katzの多項式分割や則面理論に依存せずに、Szemerédi-Trotterの交差定理と平面に関する交差結果のみを用いて、3変数関数 $f$ が $|f(A)| \gg |A|^2 / \log|A|$、4変数関数 $g$ が $|g(A)| \gg |A|^2$、5変数関数 $h$ が $|h(A)| \gg |A|^4 / \log|A|$ を達成することを証明する。

ABSTRACT

We use the theory of cross ratios to construct a real-valued function f of only three variables with the property that for any finite set A of reals, the set f(A) = {f(a,b,c):a,b,c \in A} has cardinality at least C|A|^2/log|A|, for an absolute constant C. Previously-known functions with this property had all been of four variables. We also improve on the state of the art for functions of four variables by constructing a function g for which g(A) has cardinality at least C|A|^2; the previously best-achieved bound was C|A|^2/log|A|. Finally, we give an example of a five-variable function h for which h(A) has cardinality at least C|A|^4/log|A|. Proving these results depends only on the Szemeredi-Trotter incidence theorem and an analoguous result for planes due to Edelsbrunner, Guibas and Sharir, each applied in the Erlangen-type framework of Elekes and Sharir. In particular the proofs do not employ the Guth-Katz polynomial partitioning technique or the theory of ruled surfaces. Although the growth exponents for f, g and h are stronger than those for previously considered functions, it is not clear that they are necessarily sharp. So we pose a question as to whether the bounds on the cardinalities of f(A), g(A) and h(A) can be further strengthened.

研究の動機と目的

• 実数の有限集合に対して、より強い成長上限を達成する新しい拡張関数を構成すること。
• 同じ変数数の関数において、$f(A)$、$g(A)$、$h(A)$ の基数成長を、これまでに知られていた関数よりも強くすること。
• Guth-Katzの多項式分割や則面理論といった高度な道具に依存せず、古典的交差定理（Szemerédi-TrotterおよびEdelsbrunner-Guibas-Sharir）のみを用いてこれらの上限を証明すること。
• 現在の上限がさらに改善可能かどうかという未解決の問題を提示すること。

提案手法

• コア関数として交比 $X(a,b,c,d) = \frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(a-d)}$ を用い、実数の3つ組や4つ組を実数値に写像する。
• PSL_2(\mathbb{R}) 内の射影変換を用いて、2つの4つ組が同じ交比を持つための条件を特徴づけ、問題を交差幾何に結びつける。
• 関数 $f$ は $X(0,a,b,c)$ として定義され、ElekesとSharirのErlangen型枠組みを介して、$\mathbb{R}^3$ 内の点と直線の交差数に帰着される。
• 関数 $g$ は標準的な交比 $X(a,b,c,d)$ であり、その像の大きさは $\mathbb{R}^3$ 内の点と平面の交差を分析することで評価される。
• 関数 $h$ は5つ組を $\mathbb{R}^2$ に写像する2つの交比を用い、重複度付きの点と平面の交差境界を用いてその像の大きさを評価する。
• Cauchy-Schwarz を用いて、関数値の等価性を満たす解の数と像集合のサイズを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3変数の実数値関数は、有限集合 $A \subset \mathbb{R}$ の像集合のサイズに関して、二次以上の成長を達成できるか？
• RQ2 Guth-Katzの多項式分割法に依存せずに、4変数関数が $|g(A)| \gg |A|^2$ を達成できるか？
• RQ3 5変数関数に対して $|h(A)| \gg |A|^4 / \log|A|$ という境界は鋭いか、それとも改善可能か？
• RQ4 現在の $f$、$g$、$h$ の成長指数は最適か、より強い下界を示せるか？

主な発見

• 3変数関数 $f(a,b,c) = X(0,a,b,c)$ は $|f(A)| \gg |A|^2 / \log|A|$ を満たし、これまでの3変数拡張関数を改善する。
• 4変数関数 $g(a,b,c,d) = X(a,b,c,d)$ は $|g(A)| \gg |A|^2$ を満たし、以前の $|A|^2 / \log|A|$ よりも強い境界を達成する。
• 5変数関数 $h(a,b,c,d,e) = (X(a,b,c,d), X(a,b,c,e))$ は $|h(A)| \gg |A|^4 / \log|A|$ を満たし、高次元の拡張を示す。
• 証明は、点と直線のSzemerédi-Trotter交差定理と、点と平面のEdelsbrunner-Guibas-Sharir交差定理にのみ依存し、多項式分割などの高度な道具を避ける。
• 境界が鋭いかどうかは不明であり、論文はそれらをさらに改善可能かどうかという未解決の問題を提示する。