[論文レビュー] New results in $\mathcal{N}=2$ theories from non-perturbative string

Giulio Bonelli, Alba Grassi+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 72被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非摂動的トポロジカル弦理論を拡張し、自己双対な $\Omega$-バックグラウンドにおける $\mathcal{N}=2$ $SU(N)$ 超ヤン・ミルズ理論に対して、$N$-cut行列模型を導出し、Nekrasovの分配関数を等モノドロミー問題の $\tau$-関数として表すスペクトル行列式表現を提供する。主な結果は、$\epsilon$ パラメータにおける非摂動補正を含む、$SU(N)$ 分配関数に対する正確な S 対称性変換の導出である。

ABSTRACT

We describe the magnetic phase of SU(N) $\mathcal{N}=2$ Super Yang-Mills theories in the self-dual Omega background in terms of a new class of multi-cut matrix models. These arise from a non-perturbative completion of topological strings in the dual four dimensional limit which engineers the gauge theory in the strongly coupled magnetic frame. The corresponding spectral determinants provide natural candidates for the tau functions of isomonodromy problems for flat spectral connections associated to the Seiberg-Witten geometry.

研究の動機と目的

• 非摂動的トポロジカル弦理論の枠組みを $SU(2)$ の場合を越えて $SU(N)$ $\mathcal{N}=2$ 超ヤン・ミルズ理論へ拡張すること。
• 強い結合磁気的相におけるゲージ理論の分配関数の行列模型形式を導出すること。
• Seiberg-Witten幾何学に関連する等モノドロミー問題の $\tau$-関数としてのNekrasov分配関数のスペクトル行列式表現を確立すること。
• 自己双対な $\Omega$-バックグラウンドにおける $SU(N)$ Nekrasov分配関数に対する、非摂動補正を含む正確な S 対称性変換を計算すること。

提案手法

• cgm2 からの一般化された行列模型の手続きを用いて、$Y^{N,0}$ 構造におけるトポロジカル弦理論の非摂動的完成を構築する。
• $N-1$ 個のカットを持つ多カット行列模型を導出し、インスタントン数 $M_1, \dots, M_{N-1}$ および $N$ に依存するスペクトルシフト $d_i, f_i$ でパラメータ化する。
• 行列模型に対して双対的な4次元極限を実行し、自己双対な $\Omega$-バックグラウンドにおける $\mathcal{N}=2$ $SU(N)$ ゲージ理論の分配関数を導出する。
• 分配関数をフリードホルム作用素のスペクトル行列式として特定し、等モノドロミー問題の $\tau$-関数と結びつける。
• スペクトル行列式の $N \to \infty$ 展開を用いて、高 genus の自由エネルギー $F_g^D$ を計算する。
• 行列模型と双対ゲージ理論との間のスペクトル曲線の双対性を用いて、正確な S 対称性公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非摂動的トポロジカル弦理論を $Y^{N,0}$ 構造に適用することで、磁気的位相における $\mathcal{N}=2$ $SU(N)$ ゲージ理論の分配関数を計算する方法は何か？
• RQ2 自己双対な $\Omega$-バックグラウンドにおける $SU(N)$ $\mathcal{N}=2$ SYM のNekrasov分配関数を計算する多カット行列模型の明示的形は何か？
• RQ3 行列模型のスペクトル行列式は、Seiberg-Witten 曲線に関連するHitchin系の等モノドロミー問題の $\tau$-関数とどのように関係しているか？
• RQ4 行列模型形式を用いることで、摂動論を越えた $SU(N)$ Nekrasov分配関数に対する正確な S 対称性変換を導出できるか？
• RQ5 行列模型から計算される高 genus の自由エネルギー $F_g^D$ は何か？ また、既知のゲージ理論の結果とどのように比較できるか？

主な発見

• 磁気的フレームにおける $SU(N)$ Nekrasov分配関数は、インスタントン数 $M_1, \dots, M_{N-1}$ および $N$ に依存するスペクトルシフト $d_i, f_i$ でパラメータ化された $N-1$ 個のカットを持つ多カット行列模型として与えられる。
• 分配関数はフリードホルム作用素のスペクトル行列式として表現され、Seiberg-Witten 曲線に関連するHitchin系の等モノドロミー問題の $\tau$-関数と直接的な関係を確立する。
• $SU(4)$ の場合、行列模型により、ゼロ genus の自由エネルギー $F_0^D(T_1,T_2,T_3)$ および高 genus の寄与 $F_1^D, F_2^D$ の明示的表現が得られ、dp1 で知られているゲージ理論の結果と一致する。
• 行列模型は、$\epsilon$ に依存する非摂動補正を含む $SU(N)$ Nekrasov分配関数の非摂動的補正を計算でき、$\epsilon$-依存の非摂動項を含む正確な S 対称性変換を提供する。
• $SU(4)$ の場合、$F_0^D$ は明示的に計算され、$'$t Hooft パラメータと双対周期の一致により、klemmlt が得たゲージ理論の結果と一致することが示された。
• 高 genus の自由エネルギー $F_1^D$ や $F_2^D$ は行列模型から導出され、$F_1^D$ は $T_1, T_2, T_3$ における対数項と有理関数項を含み、$F_2^D$ は moduli の逆二乗項を含む。