[論文レビュー] New results on Noncommutative and Commutative Polynomial Identity Testing

V. Arvind, Partha Mukhopadhyay+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、自動機理論的手法を用いて、非可換回路およびブラックボックス多項式に対する決定的多項式時間の恒等的検査法を提示する。これにより、非可換代数的分岐プログラム（ABP）の完全な再構築が可能となり、単位元を持つ有限可換環上の多項式へと、効率的な恒等的検査の適用範囲が拡張される。

ABSTRACT

Using ideas from automata theory we design a new efficient (deterministic) identity test for the noncommutative polynomial identity testing problem (first introduced and studied in [RS05, BW05]). More precisely, given as input a noncommutative circuit C(x1, · · · , xn) computing a polynomial in F{x1, · · · , xn} of degree d with at most t monomials, where the variables xi are noncommuting, we give a deterministic polynomial identity test that checks if C ≡ 0 and runs in time polynomial in d, n, |C|, and t. The same methods works in a black-box setting: Given a noncommuting black-box polynomial f ∈ F{x1, · · · , xn} of degree d with t monomials we can, in fact, reconstruct the entire polynomial f in time polynomial in n, d and t. Indeed, we apply this idea to the reconstruction of black-box noncommuting algebraic branching programs (the ABPs considered by Nisan in [N91] and Raz-Shpilka in [RS05]). Assuming that the black-box model allows us to query the ABP for the output at any given gate then we can reconstruct an (equivalent) ABP in deterministic polynomial time. Finally, we turn to commutative identity testing and explore the complexity of the problem when the coefficients of the input polynomial come from an arbitrary finite commutative ring with unity whose elements are uniformly encoded as strings and the ring operations are given by an oracle. We show that several algorithmic results for polynomial identity testing over fields also hold when the coefficients come from such finite rings. 1

研究の動機と目的

• 有界次数および項数をもつ非可換回路に対する効率的な決定的恒等的検査法の開発。
• ブラックボックス非可換多項式および代数的分岐プログラム（ABP）を、決定的多項式時間で完全に再構築可能にする。
• 体から任意の有限可換環（単位元をもつ）へと多項式の恒等的検査アルゴリズムを拡張すること。ここで、演算はオラクルにアクセス可能である。
• 体に基づく既知の結果を、一様な文字列符号化を用いた有限環のより広範な設定へと一般化すること。

提案手法

• 非可換回路の次数d、変数数n、最大t個の項をもつ場合に、決定的恒等的検査法を設計するために自動機理論的アイデアを活用する。
• 非可換単項式の構造を用いて、有限オートマトンによる評価をシミュレートし、効率的な恒等的検査を可能にする。
• 同じフレームワークを用いて、n、d、tに関する多項式時間で、ブラックボックスアクセスから多項式全体を再構築する。
• 体の演算をオラクルによって提供される環の演算に置き換えることで、有限可換環（単位元をもつ）上でも同様の恒等的検査アプローチを適用する。
• ABPの特定のゲートにおける出力をオラクルに問い合わせるブラックボックスモデルを採用し、同等のABPを決定的多項式時間で再構築可能にする。
• 環上での恒等的検査問題を、同等の体上での問題に還元し、一様な符号化およびオラクルアクセスのもとで効率性を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自動機理論的手法を用いて、有界次数および項数をもつ非可換回路に対する決定的多項式時間の恒等的検査法を構築可能か？
• RQ2 オラクルクエリから、非可換ブラックボックス多項式またはABPを決定的多項式時間で再構築可能か？
• RQ3 体上の多項式に対して既存の効率的な恒等的検査結果は、任意の有限可換環（単位元をもつ）上の多項式へと拡張可能か？
• RQ4 環の演算が直接計算されるのではなく、オラクルを介してアクセスされる場合、恒等的検査の複雑さはどのように変化するか？
• RQ5 非可換単項式の構造を活用して、ABPのブラックボックス再構築アルゴリズムを設計可能か？

主な発見

• 有界次数d、変数数n、回路サイズ|C|、項数tに関する多項式時間で実行される決定的多項式恒等的検査法が開発された。
• 同じ手法により、t個の項をもつブラックボックス非可換多項式を、n、d、tに関する多項式時間で完全に再構築可能である。
• 任意のゲートにおける出力へのブラックボックスアクセスから、同等のABPを決定的多項式時間で再構築可能である。
• 体上での恒等的検査に関する結果は、単位元をもつ任意の有限可換環上の多項式へと拡張可能であり、演算がオラクルでアクセス可能である限り有効である。
• 環要素の一様な文字列符号化およびオラクルベースの環演算のもとで、フレームワークは効率性と正しさを維持する。
• 本アプローチは、自動機理論と代数的複雑度の間の橋渡しを実現し、非可換および環に基づく恒等的検査における新たなアルゴリズム的解決策を可能にする。