[論文レビュー] New results on noncompact harmonic manifolds

Gerhard Knieper|ArXiv.org|Oct 20, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、単連結で非コンパクトかつ非平坦な調和多様体に対して、純粋な指数的体積成長、ランク1、グロモフ双曲的、およびアノソフ測地線流がすべて同値であることを確立している。さらに、焦点のない非平坦な調和多様体に対して測地線流がアノソフであることを証明し、コンパクトな調和多様体におけるリヒネロヴィッチ予想を、このような性質を有する場合に確認した。

ABSTRACT

The Lichnerowicz conjecture asserts that all harmonic manifolds are either flat or locally symmetric spaces of rank~1. This conjecture has been proved by Z. Szabó \cite{Sz} for harmonic manifolds with compact universal cover. E. Damek and F. Ricci \cite{DR} provided examples showing that in the noncompact case the conjecture is wrong. However, such manifolds do not admit a compact quotient. In this paper we study, using a notion of rank, the asymptotic geometry and the geodesic flow on simply connected nonflat and noncompact harmonic manifolds denoted by $X$. In the first part of the paper we show that the following assertions are equivalent. The volume growth is purely exponential, the rank of $X$ is one, the geodesic flow is Anosov with respect to the Sasaki metric, $X$ is Gromov hyperbolic. In the second part of the paper we show that the geodesic flow is Anosov if $X$ is a nonflat harmonic manifold with no focal points. In the course of the proof we obtain that certain partially hyperbolic flows on arbitrary Riemannian manifolds without focal points are Anosov, which is of interest beyond harmonic manifolds. Combining the results of this paper with the rigidity theorem's of \cite{BCG}, \cite{BFL} and \cite{FL}, we confirm the Lichnerowicz conjecture for all compact harmonic manifolds without focal points or with Gromov hyperbolic fundamental groups.

研究の動機と目的

• コンパクトな調和多様体におけるリヒネロヴィッチ予想を解決するため、それらが局所的に対称的であるべき条件を同定すること。
• 非コンパクトで単連結かつ非平坦な調和多様体における漸近的幾何と測地線流を調査すること。
• ランクと水平超球面の平均曲率が体積成長挙動を決定する役割を明確にすること。
• 焦点のない調和多様体がアノソフ測地線流を有することを確立し、対称空間を超えて拡張すること。

提案手法

• 共役点のない多様体に対して、古典的な非正曲率空間におけるランク概念を拡張した一般化されたランクの概念を導入する。
• ヤコビテンソル解析を用いて、測地線の分散の挙動を曲率と体積成長に関連づけ、特に測地線に沿った対称テンソルの時間発展を通じて分析する。
• 測地線流を研究するためのササキ計量を適用し、アノソフ性がランク1および純粋な指数的体積成長と同値であることを証明する。
• 横断性と有界曲率の仮定を用いて、焦点のない多様体上の測地線流が部分的双曲的であることを示し、幾何的議論により完全なアノソフ性を証明する。
• ベッソン＝クルトワ＝ガロアの剛性定理およびベノワ＝フーロン＝ラボリの結果と組み合わせ、グロモフ双曲的fundamental groupを有する、または焦点のないコンパクトな調和多様体に対して局所的対称性を導く。
• 安定および不安定ヤコビテンソルのロンスキアンを用いて、流れの微分と曲率・幾何学を結ぶ恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトで単連結な調和多様体において、純粋な指数的体積成長、ランク1、グロモフ双曲的、およびアノソフ測地線流は同値か？
• RQ2 調和多様体に焦点が存在しない場合、その測地線流はアノソフ的か？
• RQ3 焦点のない、またはグロモフ双曲的fundamental groupを有するコンパクトな調和多様体に対して、リヒネロヴィッチ予想を確認できるか？
• RQ4 非コンパクトな調和多様体において、水平超球面の平均曲率と体積成長率の関係は何か？
• RQ5 焦点のない調和多様体のランクは一定か？ また、それがアノソフ的力学を示唆するか？

主な発見

• 非コンパクトで単連結かつ非平坦な調和多様体において、以下の4つは同値である：純粋な指数的体積成長、ランク1、グロモフ双曲的、およびアノソフ測地線流。
• 調和多様体が焦点を持たない場合、測地線流はアノソフ的であり、これは対称空間を超えてアノソフ性が拡張されることを示している。
• すべての焦点のない調和多様体は一定のランクを有し、奇数次元ではそのランクは必然的に1である。
• 焦点のない調和多様体がコンパクト商をもつならば、その曲率は定数負であるに違いない。
• 有界曲率および横断性の条件下で、焦点のない多様体でランクが一定のRiemann多様体上の測地線流はアノソフ的である。
• 既存の剛性定理と組み合わせることで、グロモフ双曲的fundamental groupを有する、または焦点のないすべてのコンパクトな調和多様体に対してリヒネロヴィッチ予想が確認される。