[論文レビュー] New Results on the Sum of Gamma Random Variates With Application to the Performance of Wireless Communication Systems over Nakagami-m Fading Channels

Imran Shafique Ansari, Ferkan Yılmaz+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2012

Advanced Wireless Communication Techniques被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、MeijerのG関数およびFoxのH関数を用いて、独立だが同一分布でない（i.n.i.d.）ガンマ確率変数の和（Nakagami-m fadingエンvelopeの二乗和に相当）の確率密度関数（PDF）および累積分布関数（CDF）の新しい閉形式表現を提示する。さらに、Nakagami-m fadingにおけるL枝の最大比合成（MRC）ダイバーシティシステムにおける二値変調方式の正確な閉形式ビット誤り率（BER）表現を導出しており、無限級数や再帰的メソッドに代わる計算効率の高い代替手法を提供する。

ABSTRACT

The probability density function (PDF) and cumulative distribution function of the sum of L independent but not necessarily identically distributed Gamma variates, applicable to the output statistics of maximal ratio combining (MRC) receiver operating over Nakagami-m fading channels or in other words to the statistical analysis of the scenario where the sum of squared Nakagami-m distributions are user-of-interest, is presented in closed-form in terms of well-known Meijer's G function and easily computable Fox's H-bar function for integer valued and non-integer valued m fading parameters. Further analysis, particularly on bit error rate via a PDF-based approach is also offered in closed form in terms of Meijer's G function and Fox's H-bar function for integer valued fading parameters, and extended Fox's H-bar function (H-hat) for non-integer valued fading parameters. Our proposed results complement previous known results that are either expressed in terms of infinite sums, nested sums, or higher order derivatives of the fading parameter m.

研究の動機と目的

• Nakagami-m fadingチャネルにおけるMRCダイバーシティ結合に関連する、独立だが同一分布でない（i.n.i.d.）ガンマ変数の和の閉形式統計的表現を導出すること。
• 既存の無限級数、ネストされた和、またはフェーディングパラメータmの高階導関数として表現される結果の計算非効率性を克服すること。
• 任意のフェーディング深刻度を想定したNakagami-m fadingにおけるL枝MRCシステムの二値変調方式について、正確で解析的に取り扱えるBER表現を提供すること。
• 拡張されたFoxのH関数（Ĥ）を用いて非整数m値への一般化を図ることで、より現実的なフェーディング状況への広範な適用性を高めること。
• フェーディング深刻度とチャネルの不均衡がシステム性能に与える影響を数値的結果を通じて検証すること。

提案手法

• 整数mの場合にはMeijerのG関数、非整数mの場合にはFoxのH関数（H̄）を用いて、i.n.i.i.d.ガンマ変数の和のPDFおよびCDFを導出する。
• PDFに基づくアプローチを採用し、二値変調方式のビット誤り率（BER）を計算。整数mの場合にはMeijerのG関数、非整数mの場合には拡張されたFoxのH関数（Ĥ）を用いて表現する。
• Mellin-Barnes積分表現を用いて、導出された関数を数値計算に適した形に変換する。
• 特殊関数の恒等式および経路積分技術を用いて収束性と計算可能性を保証する。
• モンテカルロシミュレーションを用いて解析的結果を検証し、さまざまな変調方式およびフェーディングパラメータにおけるBER性能を比較する。
• 導出された式の実用的計算を可能にするために、拡張されたFoxのH関数（Ĥ）のMathematica®実装を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数および非整数Nakagami-mフェーディングパラメータに対して、i.n.i.i.d.ガンマ変数の和のPDFおよびCDFを閉形式で表現できるか？
• RQ2 特殊関数を用いて、Nakagami-mフェーディングにおけるL枝MRCダイバーシティ結合の二値変調方式のBERを閉形式で導出できるか？
• RQ3 無限級数や再帰的導関数に基づく既存手法と比較して、提案手法の計算効率および正確性はどのように異なるか？
• RQ4 フェーディング深刻度（m）およびチャネルの不均衡がMRCシステムのBER性能に与える影響は何か？
• RQ5 拡張されたFoxのH関数（Ĥ）は、実用的な無線システムにおける非整数m値への一般化に効果的に使用できるか？

主な発見

• 整数mの場合にはMeijerのG関数、非整数mの場合にはFoxのH̄関数を用いて、i.n.i.i.d.ガンマ変数の和のPDFおよびCDFを閉形式で導出。無限級数やネストされた和に比べて大幅な簡略化を実現。
• Nakagami-mフェーディングにおけるL枝MRCの二値変調方式のBERは、整数mの場合にはMeijerのG関数、非整数mの場合には拡張されたFoxのH関数（Ĥ）を用いて閉形式で表現可能。これにより正確な性能評価が可能となる。
• 数値的結果により解析的表現の正確性が確認され、シミュレーションと解析的BER曲線が完全に一致している。図6ではL=5、m1=0.6、m2=1.1、m3=2、m4=3.4、m5=4.5の条件で確認されている。
• CBPSKが二値方式の中で最も優れた性能を示し、次いでCoherent FSK、BPSKの順に性能が劣る。非coherentおよび差動方式は、予想通りより高い誤り率を示す。
• 提案フレームワークにより、数値積分や再帰的アルゴリズムに依存せず、システム性能指標の効率的計算が可能となり、計算効率が著しく向上する。
• 導出された式の実用的展開・検証を可能にするために、拡張されたFoxのH関数（Ĥ）のMathematica®実装が提供されている。