[論文レビュー] New SAV-pressure correction methods for the Navier-Stokes equations: stability and error analysis

Xiaoli Li, Jie Shen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2020

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 34被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、スカラーアシスタント変数（SAV）アプローチを用いて、ナビエ＝ストークス方程式のための新しい一次および二次の圧力補正スキームを導入する。これらのスキームは線形であり、結合されておらず、時間に依存しないエネルギー安定性を示し、時間ステップ制限なしに最適な誤差推定を達成する。これは、非線形項を明示的に扱い、ナビエ＝ストークス方程式に対して時間に依存しないエネルギー安定性を保証する最初の手法である。

ABSTRACT

We construct new first- and second-order pressure correction schemes using the scalar auxiliary variable (SAV) approach for the Navier-Stokes equations. These schemes are linear, decoupled and only require a sequence of solving Poisson type equations at each time step. Furthermore, they are unconditionally energy stable. We also establish rigorous error estimates for the velocity and pressure approximation of the first-order scheme without any condition on the time step.

研究の動機と目的

• 非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式のための、時間に依存しないエネルギー安定性、線形性、結合されていない時間積分スキームの開発。
• 従来のSAVに基づくスキームにおける不安定性と非線形代数方程式の解法を回避するため、圧力補正戦略を導入すること。
• 時間ステップ制限なしに、一次スキームの厳密な誤差推定を確立すること。
• 時間に依存しないエネルギー安定性を保証する二次のSAV圧力補正スキームへのSAVアプローチの拡張。
• 非圧縮流れの長時間シミュレーションのための、強固で効率的かつ安定したフレームワークの提供。

提案手法

• SAVアプローチを用いて一次圧力補正スキームを定式化し、速度と圧力の解法をポアソン型方程式に分離する。
• 時間精度を二次に達成するために回転型圧力補正式を導入する。
• スカラーアシスタント変数を用いて非線形対流項を明示的に扱いながら、エネルギー安定性を維持する。
• 各時間ステップで定数係数ポアソン方程式のみを含む線形系を構築し、効率性を確保する。
• 両一次および二次スキームの時間に依存しないエネルギー安定性を導出するために、修正されたエネルギー関数を適用する。
• ペナルティ型戦略を用いて速度と圧力の更新を分離し、鞍部問題を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形項を明示的に扱い、線形で、結合されており、時間に依存しないエネルギー安定性を有するスキームをナビエ＝ストークス方程式に対して構築可能か？
• RQ2 新しい圧力補正式は、SAVに基づくスキームにおける非線形代数方程式の解法を不要にするか？
• RQ3 時間ステップ制限なしに、一次SAV圧力補正スキームの最適な誤差推定を導出可能か？
• RQ4 二次SAV圧力補正スキームにおいても、時間に依存しないエネルギー安定性が保たれるか？
• RQ5 回転型圧力補正式は、標準的なプロジェクション法と比較して、精度と安定性をどのように向上させるか？

主な発見

• 一次SAV圧力補正スキームは、時間ステップ制限なしに、速度と圧力の両方で時間方向に一次の最適収束率を達成する。
• 二次スキームは、圧力に関して$L^2$ノルムでほぼ二次収束を示し、速度およびSAV変数に関して$L^\frown{\infty}$ノルムで二次収束を示す。
• これらのスキームは時間に依存しないエネルギー安定性を示し、時間ステップの大きさにかかわらずエネルギー散逸特性が保たれる。
• 各時間ステップで非線形代数方程式を解く必要がなくなり、数値的安定性と効率性が向上する。
• 数値結果は、例1および例2の両方において、理論的予測と整合的な誤差と収束率を示している。
• 提案手法は、特に圧力補正による線形化と分離のおかげで、以前のSAVスキームと比較して優れた安定性と精度を達成している。