[論文レビュー] New series in the Johnson cokernels of the mapping class groups of surfaces

Naoya Enomoto, Takao Satoh|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、曲面のマッピングクラス群のジョーンソン余核における $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Q})$-加群構造を調査し、特に有理ジョーンソン余核内の既約成分に注目する。ブラウアー＝シュール＝ウェイル双対性と最大ベクトルの明示的構成を用いて、すべての $k \equiv 1 \pmod{4}$ および $k \geq 5$ に対して、分割 $[1^k]$ に付随する既約表現が重複度1で現れることを証明し、奇数 $k \geq 3$ に対してモリタの $[k]$-型表現の重複度に関する結果を再証明する。本研究は最高重みベクトルの明示的記述を提供し、ジョーンソン層の表現論的構造の理解を深める。

ABSTRACT

In the present paper, we study the Sp-module structure of the cokernel of the Johnson homomorphism of the mapping class groups of surfaces. We detect the Sp-irreducible components with highest weight [1^k] (and [k]) in the cokernel. We also show that the multiplicities of them is equal to one.

研究の動機と目的

• 有理ジョーンソン余核 $\mathfrak{h}_{g,1}^{\mathbf{Q}}(k)/\mathrm{Im}(\tau_{k,\mathbf{Q}}^{\mathcal{M}})$ における $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Q})$-加群構造を理解すること。
• ジョーンソン余核内に現れる $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Q})$-加群のうち、特に最高重み $[1^k]$ および $[k]$ を持つ既約加群を同定・記述すること。
• 奇数 $k \geq 3$ に対してジョーンソン余核における $[k]$-型表現の重複度に関するモリタの結果を、明示的ベクトル構成を用いて再証明すること。
• ブラウアー＝シュール＝ウェイル双対性を用いて、最高重み $[1^k]$ および $[k]$ を持つ最大ベクトルの明示的構成をすること。
• 写像 $c_k$ の像と $\mathrm{Ker}(c_k)$ の構造に関する未解決問題に取り組み、ジョーンソン余核内での障害を特定すること。

提案手法

• テンソル空間の分解を解析するため、$\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Q})$ とブラウアー代数の間のブラウアー＝シュール＝ウェイル双対性を適用する。
• ディンキン＝スパーシュト＝ヴェイマンのイデムポテンを用いて、テンソル空間内の自由リー代数成分を記述する。
• クラシェヴィッチ＝ヴェイマンの組合せ論的記述を用いて、制限 $\mathrm{Res}_{\mathrm{Cyc}_k}^{\mathfrak{S}_k} S^\lambda$ 内の重複度を計算する。
• 表現論的技法を用いて、ジョーンソン余核内に最高重み $[1^k]$ および $[k]$ を持つ明示的最適ベクトルを構成する。
• ジョーンソン準同型 $\tau_k^\mathcal{M}$ 及びその有理数拡張 $\tau_{k,\mathbf{Q}}^\mathcal{M}$ を用いて、余核を $\mathfrak{h}_{g,1}^{\mathbf{Q}}(k)$ の商として分析する。
• 余核構造を写像 $c_k$ の像と関連づけ、$\mathrm{Ker}(c_k)$ を研究することで、新たな既約成分を検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分割 $[1^k]$ に付随する $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Q})$-加群が、$k \equiv 1 \pmod{4}$ かつ $k \geq 5$ のときジョーンソン余核に現れるか？
• RQ2 このような $k$ に対して、有理ジョーンソン余核における $[1^k]$-型表現の重複度はいかほどか？
• RQ3 奇数 $k \geq 3$ に対してジョーンソン余核における $[k]$-型表現の重複度1の結果を、明示的ベクトル構成を用いて再証明できるか？
• RQ4 写像 $c_k$ の像は、$\mathrm{Ker}(c_k)$ 及びジョーンソン余核の構造とどのように関係するか？
• RQ5 $\mathrm{Ker}(c_k)$ 内に、$[\mathfrak{h}_{g,1}^{\mathbf{Q}}, \mathfrak{h}_{g,1}^{\mathbf{Q}}](k)$ に含まれない $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Q})$-既約加群が存在するか？

主な発見

• 分割 $[1^k]$ に付随する $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Q})$-加群が、すべての $k \equiv 1 \pmod{4}$ および $k \geq 5$ に対して $k$-ジョーンソン余核に重複度1で現れる。
• 分割 $[k]$ に付随する $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Q})$-加群が、すべての奇数 $k \geq 3$ に対してジョーンソン余核に重複度1で現れ、モリタの結果が新たな構成により確認された。
• ブラウアー＝シュール＝ウェイル双対性およびイデムポテン技法を用いて、最高重み $[1^k]$ および $[k]$ を持つ明示的最適ベクトルがジョーンソン余核内に構成された。
• $k=6$ のとき、$\mathrm{Ker}(c_6)$ は $\mathrm{Im}(\tau_{6,\mathbf{Q}}^\mathcal{M})$ を真に含むため、一般には $\mathrm{Im}(\tau_{k,\mathbf{Q}}^\mathcal{M}) \neq \mathrm{Ker}(c_k)$ であることが示された。
• $\mathrm{Ker}(c_6)/\mathrm{Im}(\tau_{6,\mathbf{Q}}^\mathcal{M})$ に、少なくとも1つの重複度を持つ自明表現 $[0]$ が現れ、これは $\tau_k^\mathcal{M}$ の像を超える $\mathrm{Sp}$-不変成分が余核に存在することを示している。
• コンアン＝カッサボフ＝ヴォグトマンの予想される障害が $\mathrm{Ker}(c_k)$ 内に存在する可能性があり、これは $\mathrm{Ker}(c_k)$ が $\mathrm{Im}(\tau_{k,\mathbf{Q}}^\mathcal{M})$ よりも深い構造を捉えている可能性を示唆している。