[論文レビュー] New sharp inequalities of Ostrowski and generalized trapezoid type for the Riemann-Stieltjes integrals and applications

Mohammad W. Alomari|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2014

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、被積分関数および積分因子の滑らかさと変動に関するさまざまな条件下で、リーマン–スティルチェス積分に対する新しい鋭い重み付き不等式（オストロフスキー型および一般化された台形型）を確立する。主な貢献は、一般化された四則則のための統一的誤差境界であり、$ olimits \left| R(f,u,I_n,\xi) \right| \leq \left[\frac{1}{2} + \left|\frac{1}{2} - \alpha\right|\right] \left[u(b)-u(a)\right] \cdot \bigvee_a^b(f)$ として表される。これは、RS積分の数値積分における既存の結果を一般化し、鋭くするものである。

ABSTRACT

In this paper, new sharp weighted generalizations of Ostrowski and generalized trapezoid type inequalities for the Riemann--Stieltjes integrals are proved. Several related inequalities are deduced and investigated. New Simpson's type inequalities for $\mathcal{RS}$--integral are pointed out. Finally, as application; an error estimation of a general quadrature rule for $\mathcal{RS}$--integral via Ostrowski--generalized trapezoid quadrature formula is given.

研究の動機と目的

• リーマン–スティルチェス積分に対する、オストロフスキーおよび一般化された台形不等式の新しい鋭い重み付き一般化を導出すること。
• 多様な滑らかさおよび有界変動性の仮定の下で、既存の四則則の誤差境界を統一的かつ拡張すること。
• 一般化された四則則をリーマン–スティルチェス積分に適用するための包括的な誤差推定フレームワークを提供すること。
• 新しいシンプソン型不等式を導出し、実用的な数値積分の場面への応用を示すこと。

提案手法

• 被積分関数および積分因子に対してホルダー連続性、有界変動性、リプシッツ条件を用いて、新しい重み付きオストロフスキー型不等式を導出する。
• パラメータ$\alpha$を用いた一般化された台形則を、分割された区間$[x_i, x_{i+1}]$に適用し、リーマン–スティルチェス和$S(f,u,I_n,\xi)$をモデル化する。
• 一般化された三角不等式および変動ノルムを用いて、区間$[a,b]$全体における剰余項$R(f,u,I_n,\xi)$の上限を求める。
• 部分区間における和を用いて、キーバインドである誤差境界$\left| R \right| \leq \left[\frac{1}{2} + \left|\frac{1}{2} - \alpha\right|\right] \left[u(b)-u(a)\right] \cdot \bigvee_a^b(f)$を確立する。
• ドラゴミル、キキアントイらの既知の結果を基礎的参照として用い、より鋭い不等式を構築する。
• ホルダー連続性、リプシッツ条件、単調性条件を含む、さまざまな正則性仮定の下でのケース解析により、結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン–スティルチェス積分に適用されたオストロフスキー–一般化された台形四則則のための、最も鋭い誤差境界は何か？
• RQ2 ホルダー連続性、有界変動性、リプシッツ条件の下で、リーマン–スティルチェス積分に対して重み付き不等式をどのように導出できるか？
• RQ3 誤差境界を、被積分関数の全変動および積分因子の全変動の観点から一様に表現できるか？
• RQ4 パラメータ$\alpha$は、異なる四則則スキームにおいて誤差境界を最小化するために果たす役割は何か？
• RQ5 新しい不等式は、既存のものと比べて鋭さおよび一般性の観点でどのように異なるか？

主な発見

• 一般化された四則則における剰余項$R(f,u,I_n,\xi)$は、$\left| R \right| \leq \left[\frac{1}{2} + \left|\frac{1}{2} - \alpha\right|\right] \left[u(b)-u(a)\right] \cdot \bigvee_a^b(f)$ を満たし、これは鋭く、分割のメッシュに依存しない。
• この境界はすべての$\alpha \in [0,1]$に対して一様であり、$\alpha = 0$ または $\alpha = 1$ の場合に最悪で要因1を示し、$\alpha = 0.5$ の場合に最良で要因0.5を示す。
• 重み付きノルムおよび変動構造を組み込むことで、ドラゴミル、キキアントイらの以前の境界を一般化し、改善する。
• ホルダー連続性、有界変動性、リプシッツ条件を含む、複数の正則性仮定の下での誤差推定が可能である。
• 主なフレームワークの特殊ケースとして、リーマン–スティルチェス積分のための新しいシンプソン型不等式が導かれる。
• 解析により、被積分関数の全変動$\bigvee_a^b(f)$が誤差の大きさの主要因であることが確認され、積分因子の変動$u(b)-u(a)$が境界を線形にスケーリングすることが分かった。