[論文レビュー] New spectrum and condensate in two dimensional QCD

Takehisa Fujita, Makoto Hiramoto+1 more|ArXiv.org|Jun 10, 2003

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、質量ゼロのフェルミオンを伴う2次元QCD（QCD₂）における質量ゼロのボソンの長年のパラドックスを解消するため、ボゴリューボフ真空アプローチを提案する。フォック空間における非自明な真空構造を組み込むことで、$1/N_c$展開と一致する有限なボソン質量および凝集体積が得られ、軽量光円錐法がQCD₂では失敗するが、凝集体効果に敏感でないためQED₂では偶然にうまくいくことが示された。

ABSTRACT

The boson mass and the condensate in two dimensional QCD with $SU(N_c)$ colors are numerically evaluated with the Bogoliubov vacuum. It is found that the boson mass is finite at the massless limit, and it is well described by the phenomenological expression $ {\cal M}_{N_c}={2\over 3}\sqrt{N_cg^2\over{3π}} $ for large $N_c$. Also, the condensate values agree very well with the prediction by the $1/N_c$ expansion. The validity of the naive light cone method is examined, and it turns out that the light cone prescription of the boson mass with the trivial vacuum is accidentally good for QED$_2$. But it is not valid for QCD$_2$. Further, at the massless fermion limit, the chiral symmetry is spontaneouly broken without anomaly, and the Goldstone theorem does not hold for QCD$_2$.

研究の動機と目的

• 2次元QCDにおいて、フェルミオン質量がゼロのとき光円錐法が質量ゼロのボソンを予測するが、2次元場の理論における既知の制約と矛盾するという不整合を解消すること。
• QCD₂における自明な真空を用いたナチュラル光円錐法の妥当性を、非自明な真空構造および凝集体形成の観点から検討すること。
• ボゴリューボフ真空形式を用いて、$SU(N_c)$ゲージ群をもつQCD₂におけるボソン質量および凝集体を、静止系で数値的に評価すること。
• $1/N_c$展開の予測と比較し、$N_c = 2, 3, 50$の範囲で一致度を評価すること。
• QCD₂におけるチャーミカル対称性の破れおよびアノマリーなしでのゴールドストーン定理の破綻が果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 標準的な光円錐正準化で用いられる自明な真空に代えて、静止系における非自明な真空構造を考慮するボゴリューボフ真空形式を用いる。
• フェルミオン-ボソンおよびフェルミオン-反フェルミオン相互作用を、$g^2/L$で抑制された結合定数を伴う項$H_A$、$H_R$、$H^{(4)}$、$H^{(22)}$を含むフォック空間におけるハミルトニアンを構築する。
• 相互作用項において、角運動量および運動量保存を位相因子$\cos(\theta_{m,\alpha} - \theta_{m+n,\alpha})$および$\sin(\theta_{m+n,\alpha} - \theta_{m,\alpha})$を用いて実装する。
• ハミルトニアンの数値的対角化を実行し、最低エネルギー固有状態（ボソン質量および凝集体に対応）を抽出する。
• $1/N_c$展開の予測$C_{N_c} = -\frac{N_c}{\sqrt{12}} \sqrt{\frac{N_c g^2}{2\pi}}$と結果を比較する。
• ボソン質量の物性的フィット式を導出：質量ゼロフェルミオン極限では$\mathcal{M}_{N_c} = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{N_c g^2}{3\pi}}$、小刻みな$m_0$に対しては$\mathcal{M}_{N_c} \approx \left(\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}} + \frac{10}{3}\frac{m_0}{\sqrt{N_c}}\right)\sqrt{\frac{N_c g^2}{2\pi}}$となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜナチュラル光円錐法（自明な真空）は、QCD₂では正しい凝集体およびボソン質量を再現できないのか、QED₂ではうまくいくのか？
• RQ2 ボゴリューボフ真空は、質量ゼロフェルミオン極限におけるQCD₂の有限なボソン質量をどのように生成するのか？
• RQ3 $SU(2)$、$SU(3)$、および大$N_c$における数値的に得られた凝集体値が、$1/N_c$展開の予測とどの程度一致するのか？
• RQ4 QCD₂におけるチャーミカル対称性の破れはゴールドストーンボソンを生じるのか？もし生じないなら、なぜゴールドストーン定理が破綻するのか？
• RQ5 数値結果と$1/N_c$展開の両方に一致する、QCD₂におけるボソン質量の物性的表現式を導出できるか？

主な発見

• $SU(2)$および$SU(3)$の色をもつQCD₂におけるボソン質量は、フェルミオン質量ゼロでも有限である：それぞれ$\mathcal{M}_2 = 0.467\, g/\sqrt{\pi}$および$\mathcal{M}_3 = 0.625\, g/\sqrt{\pi}$。
• 大$N_c$において、ボソン質量は物性的式$\mathcal{M}_{N_c} = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{N_c g^2}{3\pi}}$に従い、$N_c = 50$まで数値結果とよく一致する。
• $SU(2)$の凝集体値は$C_2 = -0.495\, g/\sqrt{\pi}$であり、$1/N_c$予測の$-0.577\, g/\sqrt{\pi}$に非常に近い。$SU(3)$ではさらに良好な一致が得られ、$C_3 = -0.995\, g/\sqrt{\pi}$（予測：$-1.06\, g/\sqrt{\pi}$）。
• $N_c = 50$では、凝集体値が$1/N_c$展開式$C_{N_c} = -\frac{N_c}{\sqrt{12}} \sqrt{\frac{N_c g^2}{2\pi}}$と完全に一致する。
• ナチュラル光円錐法は、QCD₂では非自明な真空構造を無視するため失敗するが、ボソン質量が凝集体効果に敏感でないため、QED₂では偶然にうまくいく。
• 質量ゼロフェルミオン極限において、アノマリーなしでチャーミカル対称性が自発的に破れるが、ゴールドストーン定理は成立せず、2次元QCDにおける標準的なゴールドストーンモードの期待が破綻していることが示された。