[論文レビュー] New Stability Results and Algorithms for Block Tridiagonal Systems, with Applications to Kalman Smoothing

Aleksandr Y. Aravkin, BRADLEY B. BELL+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2013

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ブロック三重対角系の条件数とカルマンスムージングの安定性との間の関係を確立し、不安定な定式化がどのように生じるか、そしてどのように安定化できるかを明らかにする。本稿は、前方Rauch-Tung-Striebelスムージングが、有界な再帰的ブロック条件数を持つ前方トマスアルゴリズムを実装していることを証明し、システムの条件数にかかわらず安定性を保証する新しい後方ブロック三重対角トマスアルゴリズムを導入する。

ABSTRACT

Block tridiagonal systems play a key role in all Kalman smoothing applications, including the classic Rauch-Tung-Striebel smoother, as well as more modern variants that incorporate nonlinear models, inequality constraints on the state, and robust penalties on state and measurement components. The paper begins with a fundamental result that connects the condition number of a common block tridiagonal system to properties of the individual blocks. As a consequence, we obtain sufficient conditions for the stability of Kalman smoothing formulations. The result also illustrates how unstable Kalman smoothing problems can arise, and how to easily stabilize them. Then, turning our attention to algorithms, it is shown that the classic Rauch-Tung-Striebel smoother is an implementation of the forward Thomas algorithm for block tridiagonal systems. A flaw in the existing theory for characterizing the stability of the algorithm is revealed. A remedy is provided by proving a new stability result which shows that the condition number of every recursively modified block is bounded by the condition number of the whole system as the algorithm proceeds. Finally, a new backward block tridiagonal Thomas algorithm is presented. It is demonstrate that this algorithm behaves stably independent of the condition number of the full block tridiagonal system.

研究の動機と目的

• ブロック三重対角系の条件数とカルマンスムージングの定式化の安定性との間の理論的関係を確立すること。
• カルマンスムージングにおける不安定化の原因を特定し、安定化の十分条件を提示すること。
• 既存の前方トマスアルゴリズムをブロック三重対角系に適用した場合の安定性理論における欠陥を明らかにし、修正すること。
• システムの条件数にかかわらず数値的安定性を保証する新しい後方ブロック三重対角トマスアルゴリズムを開発すること。

提案手法

• 本稿は、ブロック三重対角系の条件数とその個々のブロックの性質との間の基本的関係を導出し、安定性解析を可能にする。
• 古典的なRauch-Tung-Striebelスムージングが、ブロック三重対角系に対する前方トマスアルゴリズムと等価であることを示している。
• 新たな安定性結果が証明され、アルゴリズムの進行に伴い、再帰的に変更された各ブロックの条件数が、全システムの条件数によって有界に保たれることを示している。
• システムを逆順に処理することで、元のシステムの条件数にかかわらず安定性を保証する新しい後方ブロック三重対角トマスアルゴリズムが提案されている。
• さまざまな条件数の下での前方および後方アルゴリズムの安定性挙動を理論的に比較している。
• 理論的およびアルゴリズム的展開は、非線形および制約付きバリエーションを含むカルマンスムージングへの応用を通じて検証されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブロック三重対角系の条件数は、カルマンスムージングの定式化の安定性にどのように関係するか？
• RQ2 ブロック三重対角系に適用された前方トマスアルゴリズムの安定性に関する既存理論に、どのような欠陥が存在するか？
• RQ3 システムの条件数にかかわらず安定性を保証する後方ブロック三重対角アルゴリズムを設計できるか？
• RQ4 個々のブロックの性質は、カルマンスムージングにおけるブロック三重対角系全体の安定性にどのように影響するか？
• RQ5 不適切に条件数の悪いカルマンスムージング問題を安定化する十分条件は何か？

主な発見

• 前方トマスアルゴリズムの進行中に、再帰的に変更された各ブロックの条件数は、全ブロック三重対角システムの条件数によって有界に保たれ、この有界性により安定性が保証される。
• 古典的なRauch-Tung-Striebelスムージングが、ブロック三重対角系に対する前方トマスアルゴリズムの形式的実装であることが明確に示された。
• 既存の前方アルゴリズムの安定性理論に欠陥が存在し、本稿はこれを新たな安定性結果で是正した。
• 提案された後方ブロック三重対角トマスアルゴリズムは、全システムの条件数に依存せずに安定した挙動を示す。
• 新しいアルゴリズムにより、システムが極めて不適切に条件数の悪い状態であっても、カルマンスムージング問題のロバストな解法が可能になる。
• 理論的枠組みにより、ブロックの性質を分析することで、不安定なカルマンスムージング定式化を安定化する明確な十分条件が提供される。