[論文レビュー] New Symmetry Groups for Generalized Solutions of ODEs

Elemér E Rosinger|arXiv (Cornell University)|May 3, 2006

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非滑らかで分布的解を許容する一般化関数の非稠密微分代数を活用することで、通常の微分方程式（ODE）の一般化解に対する新しい対称性群を導入する。非滑らかで、分布的解を許容する一般化関数の非稠密微分代数を用いることで、滑らかでない解に対しても有効な新しい対称性群を構築できる。不連続な点でのシフトを伴う変換が、古典的リー群を超える新しい対称性群を生成し、一般化関数代数における解構造を保存することが示される。

ABSTRACT

It is shown for a simple ODE that it has many symmetry groups beyond its usual Lie group symmetries, when its generalized solutions are considered within the nowhere dense differential algebra of generalized functions.

研究の動機と目的

• 古典的C∞解から一般化関数の微分代数における一般化解へ、リー群対称性理論を拡張すること。
• 標準的なリー群対称性を超えた一般化解に対する対称性群が存在するかどうかを調査すること。
• 一般化関数の非稠密微分代数において解を考慮する場合、ODEに対して無限に多くの新しい対称性群が存在することを示すこと。
• これらの新しい対称性が、特に分布関数における代数依存乗算に起因することを示すこと。
• 非C∞滑らかでない解に対しても、他の一般化解に変換する明示的な群作用を構築すること。

提案手法

• 分布を含み、非滑らかな関数の定義された乗算を許容する一般化関数の非稠密微分代数A_nd(Ω)を用いる。
• 各作用が点a ∈ Ωで振幅h ∈ ℝの不連続シフトを施す、滑らかな関数列への群作用J_{a,h}の族を定義する。
• J_{a,h} s_ν(x) = s_ν(x) for x ≤ a - 1/(ν+1), J_{a,h} s_ν(x) = 0 on [a - 1/(2(ν+1)), a + 1/(2(ν+1))], および J_{a,h} s_ν(x) = s_ν(x) + h for x ≥ a + 1/(ν+1) により作用を構成し、無視可能な関数のイデアルを尊重することを保証する。
• 作用J_{a,h}が商代数A_nd(Ω) = (C∞(Ω,ℝ))^ℕ / I_nd(Ω)に一意に誘導され、一般化解構造を保存することを証明する。
• 合成に関してJ_{a,h} ∘ J_{a,k} = J_{a,h+k}が成り立つことから、変換が一パrameter可換群をなしていることを示す。
• 複数の離散点A ⊂ Ωと写像H: A → ℝに対して作用を一般化し、J_{A,H}を定義する。合成則J_{A,H} ∘ J_{B,K} = J_{C,L}が成り立ち、C = A ∪ BでLが重複部分での値を統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解がC∞滑らかでない場合、一般化解に対するODEの対称性群が古典的リー群対称性を超えることができるか？
• RQ2 特に非稠密微分代数としての一般化関数の代数的構造が、対称性群の存在と性質にどのように影響を与えるか？
• RQ3 分布関数の代数依存乗算が、一般化解に対する新しい対称性群を生成する役割を果たすか？
• RQ4 離散点で不連続性を導入する群作用が、一般化関数代数における解の性質を保存できるか？
• RQ5 一般化解の対称性が、使用される微分代数の背後にある代数的枠組みとどのように関係するか？

主な発見

• Uが古典的C∞解であるとき、ODE D(U) = F の一般化解W = (U, U, U, ...)+I_nd(Ω) は、代数A_nd(Ω)においても解のまま保たれる。
• 作用J_{a,h}はWを新しい一般化解J_{a,h}W ∈ A_nd(Ω) \\(C∞(Ω,ℝ)に変換する（h ≠ 0のとき）、これは古典的解でないことを示す。
• 変換された解は、一般化された意味でD(J_{a,h}W) = Fを満たし、A_nd(Ω)内での解の性質が保たれていることが確認される。
• 変換群J_{a,h}は合成に関して一パrameter可換群をなし、J_{a,h} ∘ J_{a,k} = J_{a,h+k}が成り立つ。
• この構成は、A ⊂ Ωの複数の離散点と写像H: A → ℝに対して一般化され、J_{A,H}によりより広いクラスの対称性群が得られる。
• 2つの作用J_{A,H}とJ_{B,K}の合成は、C = A ∪ B上で定義される新たな作用J_{C,L}をもたらし、重複部分での値を統合するLにより、群構造が保存される。