[論文レビュー] New tabulation and sparse dynamic programming based techniques for sequence similarity problems

Szymon Grabowski|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2013

Algorithms and Data Compression被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、表計算とスパース動的計画法を活用して、時間計算量を改善した、2つの新しいアルゴリズムを提示する。LCS長の計算において、O(mn log log n / log²n) および O(mn / log²n + r) である。ここで r は一致ペアの数を表す。これらの技術は、動的計画法の依存関係に特定の条件を満たす場合に、編集距離、LCTS、MerLCS 問題へ一般化可能である。

ABSTRACT

Calculating the length of a longest common subsequence (LCS) of two strings $A$ and $B$ of length $n$ and $m$ is a classic research topic, with many worst-case oriented results known. We present two algorithms for LCS length calculation with respectively $O(mn \log\log n / \log^2 n)$ and $O(mn / \log^2 n + r)$ time complexity, the latter working for $r = o(mn / (\log n \log\log n))$, where $r$ is the number of matches in the dynamic programming matrix. We also describe conditions for a given problem sufficient to apply our techniques, with several concrete examples presented, namely the edit distance, LCTS and MerLCS problems.

研究の動機と目的

• 2つのシーケンス間の最長共通部分列（LCS）の長さを計算するためのより高速なアルゴリズムの開発。
• 表計算およびスパース動的計画法の適用範囲を、より広いクラスのシーケンス類似度問題へ拡張すること。
• これらのアルゴリズム的技法を、時間計算量の改善を達成するために適用可能な一般的な条件の同定。
• LCS、編集距離、LCTS、MerLCS 問題に対して、競争的な最悪ケース時間計算量の提供。
• 効率的なルックアップテーブル（LUT）を用いて、Four Russians技法を高次元の動的計画法テーブルへ一般化すること。

提案手法

• b × b のブロックを用いた表計算ベースの動的計画法を適用し、b = Θ(log n) とする。小さな部分問題の結果を事前に計算・キャッシュする。
• 入力記号と隣接状態のすべての組み合わせの結果を格納するルックアップテーブル（LUT）を用い、ブロック出力を定数時間で評価可能にする。
• 一致ペア (i,j) のみを訪問するスパース動的計画法（SDP）を導入することで、計算量を r 回に削減する。ここで r は一致ペアの数を表す。
• 表計算とSDPを組み合わせる：行列をブロックに分割し、LUTを用いて密な領域の計算を高速化し、一致のあるスパース領域に対してのみSDPを適用する。
• ブロック状態を差分形式で表現することで、LUTのサイズを削減し、メモリ効率を向上させる。
• 3次元ブロック（b × b × b）を用い、入力壁と出力を符号化するLUTを用いることで、3次元DPテーブル（例：MerLCS用）への一般化を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表計算技法とスパース動的計画法を組み合わせることで、LCSおよび関連問題の最悪ケース時間計算量をさらに改善できるか？
• RQ2 動的計画法の依存関係にどのような構造的条件が満たされていれば、表計算およびスパースDP技法の効率的適用が可能か？
• RQ3 一致数 r が部分的二乗以下である場合、LCSおよび関連問題の時間計算量を O(mn / log²n) よりも改善できるか？
• RQ4 Four Russians技法を、3つのシーケンスを含むような高次元DP問題（例：3シーケンス問題）へどのように拡張できるか？
• RQ5 同じ構造的制約下で、編集距離、LCTS、MerLCS などの問題へ、提案手法をどの程度まで適用可能か？

主な発見

• 本稿では、LCS長の計算に対して O(mn log log n / log²n) 時間のアルゴリズムを提示し、BilleとFarach-Coltonによる従来の O(mn (log log n)² / log²n) の境界を改善した。
• r = o(mn / (log n log log n)) のスパースインスタンスに対して、O(mn / log²n + r) 時間の新しいアルゴリズムを提案した。r が小さい場合には、標準的な O(mn) DP よりも高速である。
• この技法は LCTS 問題にも適用可能であり、σ = ω(log n (log log n)²) の条件下で、O(mn (1 + σ / log²n)) 時間計算量を達成した。これは従来の結果を改善した。
• 3つのシーケンスを含む MerLCS 問題に対しては、u = Ω(n^c) （ある c > 0）の条件下で、O(mnu / log³/²n) 時間計算量を達成した。これは提示されたDP依存関係条件のもとで成立する。
• 本フレームワークは、差分制約が有界で、定数個の近隣要素に局所的に依存するDP再帰式を満たす任意のシーケンス類似度問題へ一般化可能である。
• LUTベースのブロック処理により、事前処理時間は主計算時間に支配され、与えられた仮定のもとで、全体の時間計算量は漸近的に最適である。