[論文レビュー] New tools in GeoGebra offering novel opportunities to teach loci and envelopes

Francisco Botana, Zoltán Kovács|arXiv (Cornell University)|May 30, 2016

Polynomial and algebraic computation参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、GeoGebraの新しい「LocusEquation」と「Envelope」コマンドが、教室内ですぐに動的で記号的な代数的軌跡および包絡線方程式の計算を可能にすると説明している。Giac や SingularWS に搭載されたグレブナー・カバー（grobcov）アルゴリズムを活用した高度なコンピュータ代数システム（CAS）を用いることで、学生や教育者たちは、放物線、ストロファイド、カーディオイド、ネフロイドといった複雑な幾何的軌跡を、代数的かつインタラクティブに、モバイルデバイスでさえも利用可能に探求できる。これにより、中等教育における動的幾何学と解析的厳密性の橋渡しがなされる。

ABSTRACT

GeoGebra is an open source mathematics education software tool being used in thousands of schools worldwide. Since version 4.2 (December 2012) it supports symbolic computation of locus equations as a result of joint effort of mathematicians and programmers helping the GeoGebra developer team. The joint work, based on former researches, started in 2010 and continued until present days, now enables fast locus and envelope computations even in a web browser in full HTML5 mode. Thus, classroom demonstrations and deeper investigations of dynamic analytical geometry are ready to use on tablets or smartphones as well. In our paper we consider some typical secondary school topics where investigating loci is a natural way of defining mathematical objects. We discuss the technical possibilities in GeoGebra by using the new commands LocusEquation and Envelope, showing through different examples how these commands can enrich the learning of mathematics. The covered school topics include definition of a parabola and other conics in different situations like synthetic definitions or points and curves associated with a triangle. Despite the fact that in most secondary schools, no other than quadratic curves are discussed, simple generalization of some exercises, and also every day problems, will smoothly introduce higher order algebraic curves. Thus our paper mentions the cubic curve "strophoid" as locus of the orthocenter of a triangle when one of the vertices moves on a circle. Also quartic "cardioid" and sextic "nephroid" can be of every day interest when investigating mathematics in, say, a coffee cup. We also focus on GeoGebra specific tips and tricks when constructing a geometric figure to be available for getting the locus equation. Among others, simplification and synthetization (via the intercept theorem) are mentioned.

研究の動機と目的

• 中学校・高等学校の生徒や教員が、インタラクティブで動的な幾何学環境内での記号的代数的計算を用いて、幾何的軌跡と包絡線を探索できるようにすること。
• 主に視覚的または数値的な軌跡検出の限界を補うために、軌跡および包絡線の正当な代数的方程式を提供すること。
• Giac や SingularWS に搭載されたグレブナー・カバー法を活用し、放物線にとどまらず、ストロファイド、カーディオイド、ネフロイドといった高次代数曲線を含む、より高次の代数的曲線へのGeoGebraの能力拡張。
• タブレットやスマートフォンと互換性のある、アクセスしやすいウェブベースのツールを通じて、中等教育現場への高度な幾何的概念の統合を支援すること。
• コーヒーカップ内の光のカウスティクス（光線の包絡線）といった現実世界の現象を通じて、高次の曲線を教える可能性と教育的価値を実証すること。

提案手法

• GeoGebra 4.2以降のLocusEquationコマンドの実装において、Reduce や Giac といった埋め込みコンピュータ代数システム（CAS）を用いて記号的軌跡計算を実現。
• SingularWS ウェブサービスをGeoGebraに統合し、グレブナー・カバー（grobcov）アルゴリズムを用いて、複雑な軌跡および包絡線計算を外部処理に委ねる。
• グレブナー・カバー法を応用し、放物線にとどまらず、立方曲線のストロファイド、四次曲線のカーディオイド、六次曲線のネフロイドといった非二次曲線に対しても、軌跡および包絡線の代数的方程式を計算可能にする。
• パラメトリック点や変換（中点、反射など）を用いた幾何的作図により軌跡を定義し、その後LocusEquationで解析する。
• 光学的カウスティクスのシミュレーションにおいて、並進光線と平行光線の両モデルを用い、ネフロイドを包絡線として計算。並進光線の場合は計算が複雑すぎてGiac単体では遅いため、--singularws=enable:true コマンドを用いてSingularWSに処理を委ねた。
• 代数的証明（接線条件における判別式がゼロ）とシュタイナー幾何学的推論を用いて結果を検証し、中学校・高等学校の学習指導要領に適合させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GeoGebraのLocusEquationおよびEnvelopeコマンドを用いて、放物線のような円錐曲線の代数的定義を、動的でインタラクティブな方法でどのように教えることができるか？
• RQ2 現代の計算ツールを用いて、ストロファイド、カーディオイド、ネフロイドといった高次代数曲線を、軌跡または包絡線として生成・研究できる範囲はどの程度か？
• RQ3 光線がコーヒーカップ内で反射する際の曲線族の包絡線を計算するにあたり、技術的および教育的課題は何か。それらは外部CASサービスを用いることでどのように克服できるか？
• RQ4 ウェブベースおよびモバイル環境において、記号的軌跡および包絡線の計算を、中等教育現場でどのようにアクセス可能かつ効率的に実現できるか？
• RQ5 これらの新しいGeoGebraツールは、幾何学、代数学、現実世界の現象（例：コーヒーカップ内のカウスティクス）との関連性を生徒が理解するのをどの程度向上させられるか？

主な発見

• GeoGebra 4.2以降のLocusEquationコマンドにより、中点の軌跡など、暗黙的代数方程式（例：$x^2 - 6x + y^2 - 4y = -9$）の自動計算が可能になった。
• SingularWS とグレブナー・カバー法を駆動とするEnvelopeコマンドにより、ネフロイド（六次曲線）のような複雑な包絡線が、反射光線の族から正しく計算された。
• 平行光線からなるネフロイドの計算は、Giac単体では処理が遅すぎたが、--singularws=enable:true コマンドを用いることで正常に計算可能となり、因数分解により余分な成分が明確に分離された。
• 焦点が(0,1)、準線がy=0である線分ABの接線による放物線の作図は、交点方程式の判別式がゼロであることを示すことで、解析的に接線であることが証明された。
• 1つの頂点が円周上を動く三角形の垂心の軌跡としてストロファイドが得られ、非二次曲線である立方曲線が動的幾何学によって容易にアクセス可能であることが示された。
• GeoGebraへの記号的計算の統合により、中等教育現場で高次曲線や現実世界の現象（例：コーヒーカップ内のカウスティクス）を、高度な代数の知識がなくても活用可能となった。