[論文レビュー] New topics in ergodic theory

Francesco Fidaleo|ArXiv.org|Feb 5, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンパクト作用素に基づく $C^*$-動的系における複数の Cesàro 平均の弱作用素位相での収束を確立し、ユニタリ作用素によって実装される自己同型の時間平均が、ユニタリ作用素のスペクトル射影によって生成される部分代数への条件付き期待値に収束することを証明している。主な結果は、弱混合的ダイナミクス下での正コンパクト作用素に対する再帰的不等式であり、複数相関の長期平均の正の性質を保証する。

ABSTRACT

The entangled ergodic theorem concerns the study of the convergence in the strong, or merely weak operator topology, of the multiple Cesaro mean $$\frac{1}{N^{k}}\sum_{n_{1},...,n_{k}=0}^{N-1} U^{n_{\a(1)}}A_{1}U^{n_{\a(2)}}... U^{n_{\a(2k-1)}}A_{2k-1}U^{n_{\a(2k)}} ,$$ where $U$ is a unitary operator acting on the Hilbert space $H$, $\a:\{1,..., m\}\mapsto\{1,..., k\}$ is a partition of the set made of $m$ elements in $k$ parts, and finally $A_{1},...,A_{2k-1}$ are bounded operators acting on $H$. While reviewing recent results about the entangled ergodic theorem, we provide some natural applications to dynamical systems based on compact operators. Namely, let $(\mathfrak A,α)$ be a $C^{*}$--dynamical system, where $\mathfrak A=K(H)$, and $α=ad(U)$ is an automorphism implemented by the unitary $U$. We show that $$\lim_{N o+\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}α^{n}=E ,$$ pointwise in the weak topology of $\K(H)$. Here, $E$ is a conditional expectation projecting onto the $C^{*}$--subalgebra $$\bigg(\bigoplus_{z\inσ_{\mathop{ m pp}}(U)} E_{z}B(H)E_{z}\bigg)\bigcap K(H) .$$ If in addition $U$ is weakly mixing with $Ω\in H$ the unique up to a phase, invariant vector under $U$ and $ω=$, we have the following recurrence result. If $A\in K(H)$ fulfils $ω(A)>0$, and $00$$ for each $N>N_{0}$.

研究の動機と目的

• 代数がコンパクト作用素 $\mathcal{K}(\mathcal{H})$ である $C^*$-動的系のエルゴディック性を調査すること。
• ユニタリ作用素 $U$ によって実装される自己同型 $\alpha = \text{Ad}_U$ の時間平均の収束性を特定すること。
• エンタングルドエルゴディック定理を用いて、弱混合的系における正コンパクト作用素の再帰的結果を確立すること。
• Cesàro 平均の極限を、$U$ の純粋点スペクトルに関連する特定の $C^*$-部分代数への条件付き期待値として特徴づけること。

提案手法

• ユニタリ作用素 $U$ のべきと有界作用素 $A_i$ を含む複数作用素平均の収束を分析するために、エンタングルドエルゴディック定理を用いる。
• スペクトル論を適用して、ヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ を $U$ の固有値 $z \in \sigma_{\text{pp}}(U)$ に対応するスペクトル部分空間 $E_z\mathcal{H}$ に分解する。
• 部分空間 $\left(\bigoplus_{z \in \sigma_{\text{pp}}(U)} E_z \mathcal{B}(\mathcal{H}) E_z\right) \cap \mathcal{K}(\mathcal{H})$ への条件付き期待値 $E$ を構成する。
• 弱作用素位相収束とトレースクラス近似技術を用いて、収束性をコンパクト作用素から一般のトレースクラス作用素へ拡張する。
• 極化法と有限ランク近似を用いて、解析をランク1の正作用素に還元する。
• 平均エルゴディック定理とスペクトル射影技術を用いて、複数相関平均が $\omega(A)^{l+1} > 0$ に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己同型 $\alpha = \text{Ad}_U$ に対して、$\mathcal{K}(\mathcal{H})$ 上の弱位相で Cesàro 平均 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\alpha^n$ は収束するか？
• RQ2 自己同型 $\alpha$ が $\mathcal{K}(\mathcal{H})$ 上のユニタリ作用素 $U$ によって実装されるとき、極限作用素の明確な形は何か？
• RQ3 弱混合的ダイナミクス下で、正コンパクト作用素の複数相関に対して再帰的不等式を確立できるか？
• RQ4 $U$ の純粋点スペクトルは、$\alpha^n$ の時間平均の極限構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 平均 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\omega(A\alpha^{nm_1}(A)\cdots\alpha^{nm_l}(A))$ が十分大きな $N$ に対して正のままである条件は何か？

主な発見

• Cesàro 平均 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\alpha^n$ は、$\mathcal{K}(\mathcal{H})$ 上の弱作用素位相で、部分代数 $\left(\bigoplus_{z \in \sigma_{\text{pp}}(U)} E_z \mathcal{B}(\mathcal{H}) E_z\right) \cap \mathcal{K}(\mathcal{H})$ への条件付き期待値 $E$ に収束する。
• $\sigma_{\text{pp}}(U) = \emptyset$ ならば、Cesàro 平均は弱位相でゼロに収束する。
• $\sigma_{\text{pp}}(U) = \{1\}$ で、一意の不変ベクトル $\Omega$ があるとき、極限は $\omega(\cdot)E_1$ である。ここで $\omega = \langle\cdot\Omega,\Omega\rangle$ である。
• 弱混合的 $C^*$-動的系で $\mathfrak{A} = \mathcal{K}(\mathcal{H})$ であり、$A \in \mathcal{K}(\mathcal{H})$ で $\omega(A) > 0$ ならば、複数相関平均はすべての $N > N_0$ に対して $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\omega(A\alpha^{nm_1}(A)\cdots\alpha^{nm_l}(A)) > 0$ を満たす。
• 複数相関平均の極限は $\omega(A)^{l+1} > 0$ に等しく、これはエンタングルドエルゴディック定理とスペクトル射影技術によって確立される。
• 条件付き期待値 $E$ がコンパクト作用素をコンパクト作用素に写像することを示し、トレースクラス近似と有限ランク還元を用いて、弱作用素位相収束を証明する。