[論文レビュー] New topological recursion relations

Xiaobo Liu, Rahul Pandharipande|arXiv (Cornell University)|May 30, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、安定写像のモジュライ空間への仮想局在を用いて、$\overline{M}_{g,1}$ 上の余接線束クラス $\psi_1^k$ の新しい位相的再帰関係を $k \geq 2g$ の場合に確立する。主な結果は、$\psi_1^{2g+r}$ を種数分割境界除集合の和として表現する普遍的公式であり、境界押し出し写像の核内に非自明なタウトロジカル関係を導き出し、リウ＝シュウのゲーローヴォー・ウィッテン予想をすべて証明する。

ABSTRACT

Simple boundary expressions for the k-th power of the cotangent line class on the moduli space of stable 1-pointed genus g curves are found for k >= 2g. The method is by virtual localization on the moduli space of maps to the projective line. As a consequence, nontrivial tautological classes in the kernel of the push-forward map associated to the irreducible boundary divisor of the moduli space of stable g+1 curves are constructed. The geometry of genus g+1 curves then provides universal equations in genus g Gromov-Witten theory. As an application, we prove all the Gromov-Witten identities conjectured recently by K. Liu and H. Xu.

研究の動機と目的

• $k \geq 2g$ のとき、$A^{2g+r}(\overline{M}_{g,1})$ 内で $\psi_1^k$ の明示的境界表現を導出すること。これは既知の再帰関係を $k \geq g$ の場合に拡張するものである。
• 境界押し出し写像 $\iota_*: A^*(\overline{M}_{g,2}) \to A^*(\overline{M}_{g+1})$ の核内に非自明なタウトロジカルクラスを構成すること。
• リウとシュウのゲーローヴォー・ウィッテン予想を証明すること。この予想は、$\psi$ クラスの高次のべきを含む普遍的関係である。

提案手法

• 安定写像 $\overline{M}_{g,n}(\mathbb{P}^1,1)$ のモジュライ空間に仮想局在を適用し、仮想クラスに対する特別な交差数を評価する。
• $\overline{M}_{g,n}(\mathbb{P}^1,1)$ 上で特定のタウトロジカル交差が消えることを利用して、$A^*(\overline{M}_{g,1})$ 内の関係を導出する。
• $\psi_1^{2g+r}$ を種数分割境界除集合 $\Delta_{1,\emptyset}(g_1,g_2)$ における和として表現し、成分上の $\psi_{\star_1}^a \psi_{\star_2}^b$ クラスを係数に含める。
• ゲーローヴォー・ウィッテン理論の分割公理を用いて、$\overline{M}_{g,2}$ 内のタウトロジカル関係を、種数 $g$ のゲーローヴォー・ウィッテンインバリアントに関する普遍方程式に翻訳する。
• ベクトル場上の作用素 $T$ を用いて、関係式を $T^k(\gamma_\ell)$ および $T^{m-k}(\gamma^\ell)$ を含む普遍方程式に翻訳する。
• 既知の $\Psi_{n_1,n_2,g,m}$ および $\tau_k(\gamma_\ell)$ の公式と一致させることで、導出された関係式が必要な普遍方程式を満たしていることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k \geq 2g$ のとき、既知の $k \geq g$ の場合を除いて、$\psi_1^k$ の明示的境界表現を見つけることができるか？
• RQ2 境界押し出し写像 $\iota_*: A^*(\overline{M}_{g,2}) \to A^*(\overline{M}_{g+1})$ の核内に非自明なタウトロジカルクラスが存在するか？
• RQ3 高次の $\psi$ クラスを含む、リウとシュウのゲーローヴォー・ウィッテン予想は、タウトロジカル関係を用いて普遍的に証明可能か？

主な発見

• 新しい位相的再帰関係が確立された：$\psi_1^{2g+r} = \sum_{g_1+g_2=g, g_i>0} \sum_{a+b=2g-1+r} (-1)^a \frac{g_2}{g} \cdot \iota_*\left(\psi_{\star_1}^a \psi_{\star_2}^b \cap [\Delta_{1,\emptyset}(g_1,g_2)]\right)$ in $A^{2g+r}(\overline{M}_{g,1})$。
• 境界押し出し写像 $\iota_*$ の核内に非自明なタウトロジカルクラスが存在することを証明し、種数 $g$ のゲーローヴォー・ウィッテン理論における普遍方程式を生成する新しいメカニズムを提供する。
• リウとシュウのすべての予想されたゲーローヴォー・ウィッテン恒等式が普遍的に成立することが証明され、彼らの予想がすべての種数およびすべての $\psi$ クラスの高次のべきについて正当化された。
• この手法により、$\overline{M}_{g,2}$ 内のタウトロジカル関係を境界押し出しを経由して、種数 $g$ のゲーローヴォー・ウィッテン理論における普遍方程式を構成できることを明らかにした。これにより、このような方程式を発見する新たな道筋が開かれた。
• 導出された関係式は非自明で幾何学的に意味のあるものであり、タウトロジカル的退化だけではなく、$\overline{M}_{g,n}(\mathbb{P}^1,1)$ の仮想幾何から生じている。
• 仮想局在と作用素 $T$ を用いた関係式の翻訳による証明技法は、曲線のモジュライ空間上のタウトロジカル関係から、ゲーローヴォー・ウィッテン理論における普遍関係を系統立てて導出するためのフレームワークを提供する。