[論文レビュー] New twisted quantum current algebras

Naihuan Jing|ArXiv.org|Jan 16, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、単純なループ代数の有限次元単純リー代数に関連する、新しい種類のねじれ量子電流代数を導入する。この代数は、Lepowsky-WilsonおよびFrenkel-Lepowsky-Meurmanのねじれ頂点演算子を量子化する頂点表現によって構成される。この代数は、Drinfeld型の余乗法を備えたホップ代数であることが示され、Kac-Moodyの場合にまで拡張されたねじれ量子ループ代数が導入され、量子群構造がねじれ設定へと拡張される。

ABSTRACT

We introduce a twisted quantum affine algebra associated to each simply laced finite dimensional simple Lie algebra. This new algebra is a Hopf algebra with a Drinfeld-type comultiplication. We obtain this algebra by considering its vertex representation. The vertex representation quantizes the twisted vertex operators of Lepowsky-Wilson and Frenkel-Lepowsky-Meurman. We also introduce a twisted quantum loop algebra for the Kac-Moody case and give its level one representation.

研究の動機と目的

• 単純なループ代数の有限次元単純リー代数に関連する新しいねじれ量子電流代数の構成。
• 代数がホップ代数となるようなDrinfeld型の余乗法の定義。
• Lepowsky-WilsonおよびFrenkel-Lepowsky-Meurmanのねじれ頂点演算子を量子化する頂点表現による代数の実現。
• Kac-Moody設定におけるねじれ量子ループ代数への構成の拡張。
• ねじれ量子ループ代数のレベル1表現の提供。

提案手法

• 構成は、Lepowsky-WilsonおよびFrenkel-Lepowsky-Meurmanのねじれ頂点演算子から導かれるねじれ電流代数の頂点表現から出発する。
• 代数は、これらのねじれ頂点演算子の量子化として定義され、元のリー代数構造を保つ。
• Drinfeld型の余乗法が導入され、代数にホップ代数構造が与えられる。
• ねじれ量子電流代数は、定義された積および余積作用に関して閉じていることが示される。
• Kac-Moodyの場合への拡張は、同様の頂点表現技法を用いてねじれ量子ループ代数を定義することによって行われる。
• 同じ枠組みを用いて、ねじれ量子ループ代数のレベル1表現が明示的に構成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純なループ代数のリー代数に対して、頂点表現を用いてねじれ量子電流代数を体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 得られた代数が有する代数的構造、特に余乗法は何か？
• RQ3 Lepowsky-WilsonおよびFrenkel-Lepowsky-Meurmanのねじれ頂点演算子を一貫した量子代数に量子化できるか？
• RQ4 この構成はKac-Moody設定、特にループ代数に対してどのように拡張されるか？
• RQ5 ねじれ量子ループ代数のレベル1表現の構造は何か？

主な発見

• ねじれ量子電流代数は、Drinfeld型の余乗法を備えたホップ代数として構成され、量子群構造と整合性を持つことが保証される。
• 頂点表現により、ねじれ頂点演算子の量子化がなされ、代数が既知の頂点演算子代数構成と結びつく。
• 代数は定義された積および余積作用に関して閉じており、量子代数としての一貫性が確認される。
• Kac-Moodyの場合にはねじれ量子ループ代数が導入され、アフィン設定への枠組みの拡張がなされる。
• ねじれ量子ループ代数のレベル1表現が明示的に構成され、その表現論的妥当性が示される。
• この構成により、コンformal field theory や可積分系への応用が期待される、新しい種類の量子代数が確立される。