[論文レビュー] New Two Step Laplace Adam-Bashforth Method for Integer an Non integer Order Partial Differential Equations

Rodrigue Gnitchogna Batogna, Abdon Atangana|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、整数階および分数階偏微分方程式（PDE）を解くための新規な2段階のラプラス-アダム・バッシュフォースト法を提案する。ラプラス変換とラプラス空間におけるアダム・バッシュフォーストスキームを組み合わせることで、分数階PDEソルバーに一般的に見られる複雑な和項を排除し、効率的で安定的かつ収束性のある数値解法を実現する。本手法は、古典的および分数階PDEの両方において高い精度と計算の簡便性を示す。

ABSTRACT

This paper presents a novel method that allows to generalise the use of the Adam-Bashforth to Partial Differential Equations with local and non local operator. The Method derives a two step Adam-Bashforth numerical scheme in Laplace space and the solution is taken back into the real space via inverse Laplace transform. The method yields a powerful numerical algorithm for fractional order derivative where the usually very difficult to manage summation in the numerical scheme disappears. Error Analysis of the method is also presented. Applications of the method and numerical simulations are presented on a wave-equation like, and on a fractional order diffusion equation.

研究の動機と目的

• 元来ODEに適用されていたアダム・バッシュフォースト法を、局所的および非局所的作用素を有する偏微分方程式へ拡張すること。
• 従来の数値スキームが分数階PDEソルバーにおける畳み込み型項の取り扱いに直面する計算上の困難を解決すること。
• 整数階および分数階PDEの両方に対して、安定的かつ収束性があり、計算的に効率的な数値アルゴリズムを開発すること。
• 分数微分の数値的取り扱いを簡素化するために、問題をラプラス空間に変換し、煩わしい和項を回避すること。

提案手法

• 本手法は、PDEをラプラス空間におけるODEに変換するためのラプラス変換を適用し、PDEを時間に関する1階ODEに簡略化する。
• ラグランジュ補間を用いて右辺関数を近似する2段階のアダム・バッシュフォーストスキームを、ラプラス空間で構築する。
• 得られたラプラス空間における数値スキームを逆ラプラス変換により実空間に戻し、解を求める。
• 分数階PDEに対しては、キャプト導関数を用い、時間積分作用素を適用して時間積み上げスキームを導出する。
• 標準的な畳み込み和を避けるためにラプラス変換の利点を活用し、実装を簡素化する。
• バナッハ空間におけるフォーリエ-ラプラス空間でのボン・ネウマン解析を用いて安定性を分析し、時間刻みと空間グリッドサイズに関する条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アダム・バッシュフォースト法は、整数階および非整数階微分を有する偏微分方程式へ一般化可能か？
• RQ2 ラプラス変換とアダム・バッシュフォーストスキームを組み合わせることで、分数階PDEソルバーにおける複雑な和項の必要性が排除されるか？
• RQ3 得られた数値スキームは、古典的および分数階PDEの両方に対して安定的かつ収束的か？
• RQ4 分数階PDEに対して、Crank-Nicolson法や有限差分法といった古典的手法と比較して、本手法の精度および効率性はいかがなものか？

主な発見

• 本手法は、ラプラス変換を介して、アダム・バッシュフォーストスキームを整数階および分数階微分を有するPDEへ成功裏に一般化した。
• 数値スキームは、分数階PDEソルバーに一般的に見られる計算コストの高い畳み込み和を回避し、実装を著しく簡素化した。
• 安定性解析により、$ \frac{h^\alpha}{l^2} < \frac{\Gamma(\alpha)}{2d\delta_n^\alpha} $ の条件下で、スキームが無条件安定であることが確認され、すべての $ n $ に対して $ |u_n| < |u_0| $ が成り立つ。
• 波動方程式および分数階拡散方程式に対する数値シミュレーションにより、高速収束性と高い精度が実証された。
• 実空間における解を回復するために逆ラプラス変換が適用され、スキームの効率性および安定性が保持された。
• 図示結果から、指数関数的およびコサイン型の初期・境界条件に対し、正確な解と近似解の間で優れた一致が得られた。