[論文レビュー] New Type of Hamiltonians Without Ultraviolet Divergence for Quantum Field Theories

Stefan Teufel, Roderich Tumulka|arXiv (Cornell University)|May 19, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、量子場の理論における新しいハミルトニアンのクラスを提案している。このハミルトニアンは数学的に厳密に定義されており、紫外線カットオフや粒子を非ゼロの半径にスムージングする必要なく、紫外線有限である。代わりに、粒子は半径ゼロとされ、波動関数が粒子が一致する点における値と、粒子数が少ないセクターにおける値を関連付ける、新しい「内部境界条件」を介してハミルトニアンが定義される。これにより、量子場の理論の厳密で有限な定式化が可能になる。

ABSTRACT

We propose a novel type of Hamiltonians for quantum eld theories. They are mathematically well-dened (and in particular, ultraviolet nite) without any ultraviolet cut-o such as smearing out the particles over a nonzero radius; rather, the particles are assigned radius zero. We describe explicit examples of such Hamiltonians. Their denition, which is best expressed in the particle{position representation of the wave function, involves a novel type of boundary condition on the wave function, which we call an interior{boundary condition. The relevant conguration space is one of a variable number of particles, and the relevant boundary consists of the congurations with two or more particles at the same location. The interior{boundary condition relates the value (or derivative) of the wave function at a boundary point to the value of the wave function at an interior point (here, in a sector of conguration space corresponding to a lesser number of

研究の動機と目的

• 紫外線カットオフや正則化技術に依存せずに、量子場の理論の数学的に厳密な定式化を構築すること。
• 量子場の理論における長年の問題である紫外線発散を、新しいクラスのハミルトニアンによって解決すること。
• 配置空間における新しい境界条件を用いて、粒子数が可変な量子場の理論に対して一貫した力学を定義すること。
• 波動関数に新たな種類の制約を課すことにより、粒子を点粒子（半径ゼロ）として扱いながら発散を回避するフレームワークを提供すること。
• 波動関数が粒子が一致する点における振る舞いと、粒子数が少ないセクターにおける値との間の厳密な関係を、内部境界条件を介して確立すること。

提案手法

• 波動関数の粒子位置表現におけるハミルトニアンを定義し、配置空間が可変な粒子数を含むようにする。
• 波動関数の境界点（2つ以上の粒子が同じ位置に存在する点）における値または微分が、粒子数が少ないセクターにおける波動関数の値と関係づけられる内部境界条件を導入する。
• 異なる粒子数セクターにおける波動関数の値を用いて境界条件を定式化することで、このようなハミルトニアンの明示的例を構成する。
• 粒子が一致するすべての点で波動関数が内部境界条件を満たすようにすることで、数学的厳密性を保証する。
• 粒子が一致する点が境界をなす配置空間の構造を用いて、外部の正則化子を導入せずに力学を定義する。
• スムージングやカットオフを必要としないため、構成上、得られるハミルトニアンは紫外線有限であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粒子を点粒子（半径ゼロ）として扱うハミルトニアンを用いて、紫外線発散のない量子場の理論を定式化することは可能か？
• RQ2 粒子数が可変な多体系量子場の理論において、有限性と整合性を保証するために必要な波動関数の境界条件の種類は何か？
• RQ3 粒子が空間で重なう場合に、量子場の理論の力学を数学的に厳密に定義することは可能か？
• RQ4 粒子が一致する点における波動関数に新たな制約を課すことで、紫外線カットオフやスムージングの必要性を排除することは可能か？
• RQ5 内部境界条件は、異なる粒子数セクターにおける波動関数の値をどのように関連付けるか。これによりユニタリティと有限性を維持する役割は何か？

主な発見

• 提案されたハミルトニアンは、紫外線カットオフや正則化手順を一切用いずに、数学的に厳密に定義されており、紫外線有限である。
• 理論は粒子を点粒子（半径ゼロ）として扱い、スムージングや有限サイズの近似の必要性を回避する。
• 内部境界条件は、粒子が一致する点における波動関数の値と、粒子数が少ないセクターにおける値を関連付けるメカニズムを提供し、整合性を保証する。
• 明示的なハミルトニアンの例が構成され、具体的な状況における実現可能性と有限性が示された。
• このフレームワークは、粒子数が可変な状況下でも、粒子位置表現における量子場の理論を厳密に定式化することが可能である。
• 波動関数の境界条件に有限性の条件を直接埋め込むことで、発散を回避するメカニズムが実現された。