[論文レビュー] New types of two component NLS-type equations

Vladimir S. Gerdjikov, Alexander A. Stefanov|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ミハイルォフの $\zeta_r \times \mathbb{Z}_2$ 減少群を用いて、D.III型対称空間から導かれる新しい可積分な2成分非線形シュレーディンガー（NLS）方程式を提示する。$\mathfrak{so}(8)$ および $\mathfrak{so}(10)$ に $\zeta_4$ および $\zeta_5$ 減少を適用することで、$|q_1|^2$、$|q_2|^2$、および $q_1q_2^* + q_1^*q_2$ に依存するハミルトニアンを持つ新しい2成分系を構成した。これにより、ザハロフ＝シュルマンの定理に対する反例を回避する。これらの系は、スケーリング固有関数を用いたLaxペア、逆散乱法、およびハミルトニアン階層を有する。

ABSTRACT

We study MNLS related to the D.III-type symmetric spaces. Applying to them Mikhailov reduction groups of the type $\mathbb{Z}_r imes \mathbb{Z}_2$ we derive new types of 2-component NLS equations. These are {\bf not} counterexamples to the Zakharov-Schulman theorem because the corresponding interaction Hamiltonians depend not only on $|q_k|^2$, but also on $q_1q_2^* +q_1^* q_2$.

研究の動機と目的

• ザハロフ＝シュルマンの定理の制限を超えて、非標準的相互作用項を持つ新しい多成分NLS方程式の分類を拡張すること。
• ミハイルォフの減少群法を、D.III型対称空間に付随するMNLS方程式（特に $\mathfrak{so}(8)$ および $\mathfrak{so}(10)$）に適用すること。
• ハミルトニアンが $|q_k|^2$ のみに依存するのではなく、$q_1q_2^* + q_1^*q_2$ に依存する新しい2成分NLS方程式を導出すること。
• Lax表現、逆散乱法、およびハミルトニアン階層の構成により、これらの新しい系の可積分性を確立すること。

提案手法

• D.III型対称空間 $SO^*(2r)/U(r)$ 及びそのCartan元 $J = \sum_{s=1}^r H_s$ に由来する $\mathbb{Z}_2$-分割を用いる。
• コアドジョイント軌道 $\mathcal{M}_J$ 上のMNLS方程式のLaxペアを構成し、$Q(x,t) = \begin{pmatrix} 0 & \mathbf{q} \\ \mathbf{p} & 0 \end{pmatrix}$ でパラメータ化する。
• 行列 $A_1$, $A_2$, $A_3$ を用いて、Laxペアに $\mathbb{Z}_4$ および $\mathbb{Z}_5$ 減少を適用し、特定の共役対称性を満たす。
• スペクトルパラメータおよび行列要素に減少条件を課すことにより、得られる2成分NLS方程式を導出する。
• 再帰作用素 $\Lambda_\pm$ の固有関数としての「二乗解」$\boldsymbol{e}_\alpha^\pm(x,\lambda)$ の完全性を用いて、逆散乱変換を確立する。
• Gelfand-Fuks変換（GFT）を用いてハミルトニアン階層を構成し、最初のハミルトニアンは $H^{(0)} = \frac{1}{2r}\int \left( \left\langle \frac{\partial Q}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} \right\rangle - \left\langle [\mathrm{ad}_J^{-1}Q, Q], [\mathrm{ad}_J^{-1}Q, Q] \right\rangle \right) dx$ で与えられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ミハイルォフの減少群法を用いて、D.III型対称空間から新しい可積分2成分NLS方程式を導出可能か？
• RQ2 これらの新しい方程式は、非標準的ハミルトニアン構造のおかげで、ザハロフ＝シュルマンの定理に対する反例を回避するか？
• RQ3 これらの新しい2成分系のLax表現および逆散乱構造は何か？
• RQ4 これらの系のハミルトニアン階層は、標準的なマナコフ系や非焦点NLSモデルと比べてどのように異なるか？
• RQ5 Gelfand-Fuks変換および二乗固有関数展開は、これらの新しい系に一般化可能か？

主な発見

• 本稿では、$\mathfrak{so}(8)$ における $\mathbb{Z}_4$ 減少および $\mathfrak{so}(10)$ における $\mathbb{Z}_5$ 減少により、非標準的相互作用項を有する2つの新しい2成分NLS方程式が導出された。
• 相互作用ハミルトニアンは明示的に $q_1q_2^* + q_1^*q_2$ に依存し、$|q_1|^2$ および $|q_2|^2$ のみに依存するのではなく、ザハロフ＝シュルマン分類の制限を回避する。
• スペクトルパラメータ $\lambda$ を持つLaxペアを有し、逆散乱変換による可積分性が保証される。
• 逆散乱データは、$\mathcal{M}_J$ 上で完全基底をなす「二乗解」$\boldsymbol{e}_\alpha^\pm(x,\lambda)$ から構成される。
• 最初のハミルトニアンは明示的に $H^{(0)} = \frac{1}{2r}\int \left( \left\langle \frac{\partial Q}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} \right\rangle - \left\langle [\mathrm{ad}_J^{-1}Q, Q], [\mathrm{ad}_J^{-1}Q, Q] \right\rangle \right) dx$ で与えられ、それに対応するシンプレクティック形式 $\Omega^{(0)}$ が存在する。
• 再帰作用素 $\Lambda_\pm$ によって生成される完全なハミルトニアン階層を有し、二乗固有関数の完全性によって証明される。