[論文レビュー] New Upper Bounds for Equiangular Lines by Pillar Decomposition

Emily J. King, Xiaoxian Tang|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2016

graph theory and CDMA systems被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ℝʳにおける等角線の最大数に対するより緊密な上界を導くために、新規のピラーデコンポジション法を導入する。これはGerzonの上限および既存の半定値計画法（SDP）の上限を上回るものである。負のクリークとの内積を分析し、組合せ論的および線形代数的手法を活用することで、特にarccos(1/5)およびarccos(1/7)の角度に対して、大規模な次元においてSDP結果よりも顕著に小さい明示的かつ非自明な上限を確立した。

ABSTRACT

We derive a procedure for computing an upper bound on the number of equiangular lines in various Euclidean vector spaces by generalizing the classical pillar decomposition developed by (Lemmens and Seidel, 1973); namely, we use linear algebra and combinatorial arguments to bound the number of vectors within an equiangular set which have inner products of certain signs with a negative clique. After projection and rescaling, such sets are also certain spherical two-distance sets, and semidefinite programming techniques may be used to bound the size. Applying our method, we prove new relative bounds for the angle arccos(1/5). Experiments show that our relative bounds for all possible angles are considerably less than the known SDP bounds for a range of larger dimension r. Our computational results also show an explicit bound on the size of a set of equiangular lines regardless of angle, which is strictly less than the well-known Gerzon's bound if r+2 is not a square of an odd number.

研究の動機と目的

• ℝʳにおける等角線の最大数に対するより緊密な上界を計算するための一般化されたピラーデコンポジション法を開発すること。
• 等角線集合に関して、古典的なGerzonの上限および既存の半定値計画法（SDP）の上限を改善すること。
• r+2が奇数の平方でない場合に限り、Gerzonの上限より厳密に小さい明示的かつ計算可能な上界sₐ(r)を提供すること。
• 新しい上限が、特にα = 1/5およびα = 1/7に対して、大規模な次元においてSDPの上限よりも一貫してタイトであることを示すこと。
• 等角線から導かれる球面二距離集合を束ねるための、線形代数、組合せ論、および半定値計画法を統合する枠組みを確立すること。

提案手法

• LemmensとSeidelの古典的ピラーデコンポジションを一般化し、負のクリークに対する特定の内積の符号を持つベクトルを分析することで、新たな枠組みを構築する。
• 射影とスケーリングを用いて、等角線集合を球面二距離集合に関連づけ、半定値計画法の手法の適用を可能にする。
• 内積構造とクリークの性質に基づいて、組合せ論的議論を用いて等角集合のサイズを制限する。
• mが(2m+1)² ≤ r+2を満たす最大の整数であるとき、mを含む代数的式を用いて明示的な上界を導出する。
• SDPソルバー（例：CVX 3.0を介したsdpt3）を用いて上限を計算・比較し、結果を最も近い整数に丸める。
• 次元44 ≤ r ≤ 400にわたる実験を通じて、結果の妥当性を検証し、新しい上限と標準的なSDP上限、Gerzonの上限を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既存の半定値計画法よりも、ピラーデコンポジションを一般化することで、等角線の上界をより緊密に導けるか？
• RQ2 どの次元rにおいて新しい上限がGerzonの上限より厳密に小さくなるか？また、その条件は何か？
• RQ3 大規模なr（例：r ≥ 44）において、α = 1/5およびα = 1/7のとき、新しい上限はSDPの上限とどのように比較されるか？
• RQ4 この手法は、計算が可能で、高次元においてSDPを上回る非自明で明示的な上界sₐ(r)を生成できるか？
• RQ5 SDPソルバーが失敗する場合（例：r > 250）において、新しい手法の性能はいかがなものか？

主な発見

• r = 137の場合、新しい上限は2015であり、SDPの上限は9528であるため、顕著な改善が確認された。
• r+2が奇数の平方でないすべてのr（44 ≤ r ≤ 400の範囲）において、新しい上限はGerzonの上限より厳密に小さい。
• r = 44～46、76～78、117～118、166、222、286、358の範囲では、上限は4r(m+1)(m+2)/((2m+3)²−r)で与えられ、mは(2m+1)² ≤ r+2を満たす最大の整数である。
• 44 ≤ r ≤ 400の他のrについては、上限は((2m+1)²−2)((2m+1)²−1)/2で与えられ、再びmは上記と同様に定義される。
• α = 1/5の場合r ≥ 94、α = 1/7の場合r ≥ 235で、新しい上限はSDPの上限よりも一貫して小さく、次元が高くなるほど差が広がる。
• α < 1/7の場合、テスト範囲（r ≤ 400）においてSDPの上限はGerzonの上限を下回っているため、新しい手法の利点は主に大きな角度（α = 1/5, 1/7）に対して顕著であると考えられる。