[論文レビュー] New variables for the Einstein theory of gravitation

Людвиг Дмитриевич Фаддеев|ArXiv.org|Nov 2, 2009

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 7被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、10個の共変ベクトル場 $ f_{\nu}^{A}(x) $ を基本変数としてアインシュタインの重力理論を再定式化し、計量 $ g_{\mu\nu} = f_{\mu}^{A}f_{\nu}^{A} $ を複合場として得る。この手法により、制約を課さずに標準的なヒルベルト＝アインシュタイン方程式が得られ、重力定数 $ \kappa^{-2} $ が追加のスカラー場 $ X^A $ の凝集体として生じるメカニズムが導入され、ゲージ理論におけるヒッグス機構に類似したローレンツ不変な可微分性への道筋が示唆される。

ABSTRACT

The set of 10 covariant vector fields is taken as basic variables to describe the gravitational field. Metric $ g_{μν} $ is a composite field. A possibility for the gravitational constant to be described as a condensate of additional scalar field is discussed.

研究の動機と目的

• 量子重力の非可微分性を解決するため、ワインバーグ＝サラム理論におけるヒッグス機構に類似したメカニズムを求める。
• 10個の共変ベクトル場 $ f_{\nu}^{A}(x) $ を基本自由度として一般相対性理論を再定式化し、計量を導出量として扱う。
• 重力定数 $ \kappa^{-2} $ が追加のスカラー場 $ X^A $ の凝集体として生じるかどうかを検討し、重力の強さに動的起源を与える。
• 新しいベクトル場形式と標準的なヒルベルト＝アインシュタイン理論との完全な等価性を、$ \partial_{\mu}f_{\nu}^{A} - \partial_{\nu}f_{\mu}^{A} = 0 $ のような制約を課さずに確立する。

提案手法

• 計量は $ g_{\mu\nu} = f_{\mu}^{A}f_{\nu}^{A} $ と定義され、$ f_{\mu}^{A} $ は4次元時空における基本的共変ベクトル場として扱われる。
• 接続 $ \Omega_{\nu\mu}^{\rho} = f^{\rho A} \partial_{\mu}f_{\nu}^{A} $ が構成され、これは計量に整合的だが一般にねじれを有する。
• リーマン曲率テンソルは接続から $ S_{\beta,\mu\nu}^{\alpha} = \partial_{\mu}\Omega_{\beta\nu}^{\alpha} - \nabla_{\nu}\Omega_{\beta\mu}^{\alpha} + \cdots $ と導出され、正しいアインシュタイン方程式が得られる。
• ベクトル場とスカラー場 $ X^A $ を結合するための新しいラグランジアン $ \mathcal{L}^{X,f} = \sqrt{g} g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta} X^A (b_{\alpha\mu}^A b_{\beta\nu}^B - b_{\alpha\nu}^A b_{\beta\mu}^B) X^B $ が導入される。
• 凝集体 $ \langle X^A X^B \rangle = \kappa^{-2} P^{AB} $ が仮定され、ヒルベルト＝アインシュタインラグランジアンが有効理論として再現される。
• 制約を課さずに、作用から直接アインシュタイン方程式が導出されるため、補助ラグランジュ乗数や統合可能性条件の強制は不要である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論を、計量を複合場として得るベクトル場を基本変数として再定式化できるか？
• RQ2 ベクトル場形式が $ \partial_{\mu}f_{\nu}^{A} = \partial_{\nu}f_{\mu}^{A} $ のような制約を課さずに、標準的なヒルベルト＝アインシュタイン方程式を再現できるか？
• RQ3 重力定数 $ \kappa^{-2} $ がヒッグス機構に類似したスカラー場の凝集体として動的に生じるか？
• RQ4 ベクトル場 $ f_{\mu}^{A} $ の運動項がスカラー凝集体から生じるような一貫性のあるラグランジアン形式は存在するか？
• RQ5 重力定数 $ \kappa^{-2} $ に動的起源を与えることで、ベクトル場アプローチが重力の可微分な量子理論に繋がるか？

主な発見

• ベクトル場 $ f_{\mu}^{A} $ を基本変数として用いた形式は、制約や追加のラグランジュ乗数を必要とせず、標準的なヒルベルト＝アインシュタイン運動方程式を導く。
• 接続 $ \Omega_{\nu\mu}^{\rho} $ から導かれる曲率テンソルは、正しいリーマン曲率を再現し、$ f_{\mu}^{A} $ に関して変分を取ることでアインシュタイン方程式と一致する。
• スカラー場 $ X^A $ とベクトル場を結合するラグランジアン $ \mathcal{L}^{X,f} $ は、凝集体 $ \langle X^A X^B \rangle = \kappa^{-2} P^{AB} $ を仮定すれば、ヒルベルト＝アインシュタイン作用が有効理論として再現可能であることが示された。
• 重力定数 $ \kappa^{-2} $ がスカラー凝集体として生じるという提案は、弱い相互作用におけるヒッグス機構に類似した、重力の可微分性を実現する可能性を秘めている。
• $ Y^\mu = f_{\mu}^{A}X^A $ の質量項として $ \mathcal{L}^{X,f} $ を導出する試みは、必要な凝集体構造と整合しないため失敗し、直接的なラグランジアン (5) の必要性が裏付けられた。
• 式 $ \nabla_{\mu}^\theta Z_a \nabla_{\nu}^\theta Z_a $ がフレーム場 $ e_a^A $ に依存しないことが示され、最終的な形式のゲージ不変性が確認された。