[論文レビュー] New versions of Schur-Weyl duality

Stephen Doty|ArXiv.org|Apr 14, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、古典的状況を超えてシュール＝ウェイル双対性を拡張するもので、$ \mathsf{GL}_n$ の随伴表現にまつわる新しい双対性を導入している。$ \mathfrak{sl}_n^{⊗ r}$ の中心化代数が、壁付きブラーユー代数の部分代数—具体的には「デランジュ代数」とも呼ばれるもの—に同型であることが示された。この代数の次元は、$2r$ 個の要素のデランジュメント数に等しい。これは、デランジュメントに結びつく組合せ論的構造を持つ、シュール＝ウェイル双対性の新たな実現である。

ABSTRACT

After reviewing classical Schur-Weyl duality, we present some other contexts which enjoy similar features, relating to Brauer algebras and classical groups.

研究の動機と目的

• 標準的表現 $V = \mathbb{C}^n$ が非基本的表現である随伴表現 $\mathfrak{sl}_n$ に置き換えられる場合に、古典的シュール＝ウェイル双対性を一般化すること。
• 標準的表現 $V$ の代わりに $\mathfrak{sl}_n$ を用いたときの中心化代数 $\operatorname{End}_{\mathsf{GL}_n}(\mathfrak{sl}_n^{\otimes r})$ を特定すること。
• 対称群がデランジュメントに関連する壁付きブラーユー代数の部分代数に置き換えられる新しいシュール＝ウェイル双対性を確立すること。
• デランジュメント数を通じて、$\mathfrak{sl}_n^{\otimes r}$ の表現論を組合せ論と結びつけること、特に自明表現および随伴表現モジュールの重複度に関して。

提案手法

• $\mathfrak{gl}_n = \mathfrak{sl}_n \oplus \mathbb{C}$ の分解を用い、$\mathfrak{gl}_n^{\otimes r}$ を $\mathfrak{sl}_n^{\otimes r}$ を含む直和に表現し、$\mathfrak{sl}_n^{\otimes r}$ を $V^{r,r} = V^{\otimes r} \otimes V^{*\otimes r}$ の直和成分として埋め込むこと。
• 壁付きブラーユー代数内に存在する特定の作用素 $c_{i,-i}$ に対応する、$e = \prod_i (1 - n^{-1} c_{i,-i})$ を用いた射影作用素 $e$ に対応する、$\mathfrak{sl}_n^{\otimes r}$ の同定。
• 中心化代数 $\mathcal{C} = \operatorname{End}_{\mathsf{GL}_n}(\mathfrak{sl}_n^{\otimes r})$ を、壁付きブラーユー代数 $\mathcal{B}_{r,r}^{(n)}$ の部分代数 $e \mathcal{B}_{r,r}^{(n)} e$ として実現すること。
• 基底が $i$ と $-i$ を結ぶ水平辺を含まない図式に対応することを示し、それらが $2r$ 個の要素のデランジュメントと一対一対応することを示すこと。
• 包含除算原理を用いて、$e \mathcal{B}_{r,r}^{(n)} e$ の次元を $N(2r) = \sum_{j=0}^{2r} (-1)^{2r-j} \binom{2r}{j} j!$ として計算し、これは $2r$ 個の対象のデランジュメント数に等しい。
• $n \geq 2r$ のとき、$\rho(\mathbb{C}\mathsf{GL}_n) = \operatorname{End}_{e\mathcal{B}_{r,r}^{(n)}e}(\mathfrak{sl}_n^{\otimes r})$ および $\sigma(e\mathcal{B}_{r,r}^{(n)}e) = \operatorname{End}_{\mathsf{GL}_n}(\mathfrak{sl}_n^{\otimes r})$ の形でシュール＝ウェイル双対性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathsf{GL}_n$ の作用の下で $\mathfrak{sl}_n^{\otimes r}$ の中心化代数は何か？
• RQ2 $\mathfrak{sl}_n^{\otimes r}$ の表現論は、デランジュメントの組合せ論とどのように関係するか？
• RQ3 シュール＝ウェイル双対性は、標準的表現 $V$ ではなく随伴表現 $\mathfrak{sl}_n$ に拡張可能か？
• RQ4 射影作用素 $\mathfrak{sl}_n^{\otimes r}$ に射かれる壁付きブラーユー代数内の部分代数 $e \mathcal{B}_{r,r}^{(n)} e$ の構造は何か？
• RQ5 $\mathfrak{sl}_n^{\otimes r}$ における既約 $\mathsf{GL}_n$-モジュールの重複度は何か？ また、それらはデランジュメント数とどのように関係するか？

主な発見

• 中心化代数 $\operatorname{End}_{\mathsf{GL}_n}(\mathfrak{sl}_n^{\otimes r})$ は、壁付きブラーユー代数 $\mathcal{B}_{r,r}^{(n)}$ の部分代数 $e \mathcal{B}_{r,r}^{(n)} e$ に同型である。
• 中心化代数の次元は、$N(2r)$ に等しく、これは $2r$ 個の対象のデランジュメント数であり、包含除算原理により $N(2r) = \sum_{j=0}^{2r} (-1)^{2r-j} \binom{2r}{j} j!$ として計算される。
• $e \mathcal{B}_{r,r}^{(n)} e$ は、その基底が $2r$ 個の要素のデランジュメントと一対一対応するため、「デランジュ代数」とも呼ばれる。
• $\mathfrak{sl}_n^{\otimes r}$ における自明表現の重複度は $N(r)$、すなわち $r$ 個の対象のデランジュメント数に等しい。
• $\mathfrak{sl}_n^{\otimes r}$ における随伴表現 $\mathfrak{sl}_n$ の重複度は $N(r-1)$、すなわち $r-1$ 個の対象のデランジュメント数に等しい。
• $n \geq 2r$ のとき、シュール＝ウェイル双対性が成り立つ：$\rho(\mathbb{C}\mathsf{GL}_n) = \operatorname{End}_{e\mathcal{B}_{r,r}^{(n)}e}(\mathfrak{sl}_n^{\otimes r})$ および $\sigma(e\mathcal{B}_{r,r}^{(n)}e) = \operatorname{End}_{\mathsf{GL}_n}(\mathfrak{sl}_n^{\otimes r})$ であり、これは古典的双対性を随伴表現に一般化したものである。