[論文レビュー] Newton-Okounkov bodies and Toric Degenerations of Mori dream spaces via Tropical compactifications

Elisa Postinghel, Stefano Urbinati|Institutional Research Information System (University of Udine)|Dec 12, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、滑らかなモーリ・ドリーム空間（MDS）におけるトロピカル幾何とニュートン-オクウンコフ体の間の関係を確立し、MDSがトーリック多様体に埋め込まれたときのトロピカル化が、すべての小Q-ファクター的変形を支配する普遍的モデルをもたらすことを示している。この構成により、ニュートン-オクウンコフ体のミンコフスキー基底が得られ、グローバルなニュートン-オクウンコフ体が有理係数多面体であることが証明され、値半群の有限生成性によりトーリック退化が可能になる。

ABSTRACT

Given a smooth Mori dream space $X$ we construct a model dominating all the small $\mathbb{Q}$-factorial modifications via tropicalization. This construction allows us to recover a Minkowski basis for the Newton-Okounkov bodies of divisors on $X$ and hence the movable cone of $X$. The existence of such basis allows us to prove the polyhedrality of the global Newton-Okounkov body and the existence of toric degenerations.

研究の動機と目的

• Mori dream空間におけるトロピカル幾何とニュートン-オクウンコフ体を結びつけること。
• トロピカル化を用いて、滑らかなMDSのすべての小Q-ファクター的変形を支配する普遍的モデルを構成すること。
• ニュートン-オクウンコフ体のミンコフスキー基底を用いて、MDSの可動コーンを回復すること。
• グローバルなニュートン-オクウンコフ体が有理係数多面体であること、およびトーリック退化が可能であることを証明すること。
• LazarsfeldとMustaìtaが提起した、グローバルなニュートン-オクウンコフ体の多面体性に関する問いに肯定的に答えること。

提案手法

• 滑らかなMDS $X$ をその周囲となるトーリック多様体 $Z$ の稠密なトーラス $T$ に制限したもののトロピカル化 ${\rm Trop}(X|_T)$ をとる。
• ${\rm Trop}(X|_T)$ に沿ったファイブをもつトーリック多様体 $\overline{Z}$ に埋め込まれたモデル $\overline{X} \to X$ を構成し、これがすべての小Q-ファクター的変形を支配することを保証する。
• $\overline{Z}$ のネフ生成子を用いて $X$ に引き戻した除釣を用い、$X$ 上のニュートン-オクウンコフ体のミンコフスキー基底を構成する。
• ミンコフスキー基底の各要素のニュートン-オクウンコフ体が有理係数で多面体的であり、値半群が有限生成であることを証明する。
• グローバルなニュートン-オクウンコフ体の有理係数多面体性を活用し、Andersonの枠組みを用いて、平坦な埋め込み退化をトーリック多様体へと構成する。
• Gfanのソフトウェアを用いてトロピカル化を計算し、具体的な例（$\overline{M}_{0,7}$ を含む）で構成を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トロピカル幾何を用いて、滑らかなMori dream空間のすべての小Q-ファクター的変形を支配する普遍的モデルを構成できるか？
• RQ2 トーリック多様体に埋め込まれたMDSのトロピカル化は、そのニュートン-オクウンコフ体のミンコフスキー基底をもたらすか？
• RQ3 滑らかなMDSのグローバルなニュートン-オクウンコフ体は有理係数多面体か？
• RQ4 MDS上のアンピールラインバンドルのニュートン-オクウンコフ体から、トーリック退化を構成できるか？
• RQ5 ミンコフスキー基底に対応するグローバルなニュートン-オクウンコフ体の値半群は、有限生成のままであるか？

主な発見

• ${\rm Trop}(X|_T)$ のトロピカル化は、${\rm Trop}(X|_T)$ に沿ったファイブをもつトーリック多様体 $\overline{Z}$ に埋め込まれたモデル $\overline{X} \to X$ を誘導し、これがすべての小Q-ファクター的変形を支配する。
• ネフ生成子の引き戻しを用いて、$X$ 上のニュートン-オクウンコフ体のミンコフスキー基底を構成し、基底要素は有理係数多面体的ニュートン-オクウンコフ体を持つ。
• MDS $X$ のグローバルなニュートン-オクウンコフ体は有理係数多面体である。これはLazarsfeldとMustaçaの予想を裏付ける。
• グローバルなニュートン-オクウンコフ体に対応する値半群は有限生成であり、平坦な埋め込み退化の存在を保証する。
• 任意の$X$ 上のアンピールラインバンドル$A$ に対して、$(X,A)$ は、必ずしも正規でないトーリック多様体への平坦な埋め込み退化を許容する。その正規化は、$A$ のニュートン-オクウンコフ体によって定義されるトーリック多様体である。
• Gfanを用いた具体的な計算により、$\overline{M}_{0,7}$ において構成が確認された。この場合、$\overline{X} \cong \overline{M}_{0,7}$ は $X$ の10本の直線による吹き上げであり、$\overline{Z}$ は $Z$ の10個の6次元平面による吹き上げとして得られる。