[論文レビュー] Newton-Okounkov bodies for Bott-Samelson varieties and string polytopes for generalized Demazure modules

Naoki Fujita|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ボット＝サマエル多様体のニュートン＝オクウンコフ体とデマールィー・モジュールの一般化ストリングポリトープの間で直接的な対応関係を確立し、特定の値関数のもとで、両者の構成が同一の凸体をもたらすことを証明している。この研究は、標準デマールィー・モジュールに限らない一般化ストリングポリトープ理論を拡張し、関連する半群の有限生成性を示すことにより、得られる凸体が有理数係数の凸多面体であることを示している。

ABSTRACT

A Newton-Okounkov convex body is a convex body constructed from a projective variety with a valuation on its homogeneous coordinate ring; this generalizes a Newton polytope for a toric variety. This convex body has various kinds of information about the original projective variety; for instance, Kaveh showed that the string polytopes from representation theory are examples of Newton-Okounkov bodies for Schubert varieties. In this paper, we extend the notion of string polytopes for Demazure modules to generalized Demazure modules, and prove that the resulting generalized string polytopes are identical to the Newton-Okounkov bodies for Bott-Samelson varieties with respect to a specific valuation. As an application of this result, we show that these are indeed polytopes.

研究の動機と目的

• 標準デマールィー・モジュールからのストリングポリトープ理論を一般化デマールィー・モジュールへ拡張すること。
• 特定の値関数のもとで、ボット＝サマエル多様体のニュートン＝オクウンコフ体と一般化ストリングポリトープが一致することを証明すること。
• 関連する半群の有限生成性を示すことにより、これらの一般化ストリングポリトープが有理数係数の凸多面体であることを確立すること。
• さまざまなリー型に対して、一般化ストリングポリトープを明示的に定義する分岐線形不等式を提供すること。

提案手法

• ボット＝サマエル多様体に関連する有理関数体に、辞書式順序を用いた最高項値関数を用いてニュートン＝オクウンコフ体を構成する。
• 一般化デマールィー・モジュールを、既約最高ウェイト・モジュールのテンソル積のB部分加群として定義する。
• ボット＝サマエル多様体のラインバンドルのグローバル・セクションに新たな基底を導入し、一般化デマールィー・クリスタルによってパラメータ化する。
• 一般化デマールィー・クリスタルにストリングパラメータ化を適用し、一般化ストリングポリトープと呼ばれる新しい多面体を定義する。
• 与えられた語iと重みmに対して、一般化ストリングポリトープ∆i,mを特徴付ける分岐線形不等式を導出する。
• 半群S(X, L, v, τ)の有限生成性を用いて、ニュートン＝オクウンコフ体が有理数係数の凸多面体であると結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定の値関数のもとで、デマールィー・モジュールの一般化ストリングポリトープは、対応するボット＝サマエル多様体のニュートン＝オクウンコフ体と等価か？
• RQ2 ストリングポリトープの構成は、標準デマールィー・モジュールから一般化デマールィー・モジュールへ拡張可能か？
• RQ3 与えられた既約または非既約語iと重みmに対応する一般化ストリングポリトープ∆i,mの定義不等式は何か？
• RQ4 選択された値関数のもとで、ボット＝サマエル多様体の半群S(X, L, v, τ)は有限生成か？ これによりニュートン＝オクウンコフ体が有理数係数の凸多面体であることが保証されるか？
• RQ5 同じウェイル群元に対して異なる既約語を選んだ場合、多面体はどのように変化するか？

主な発見

• 既約語iに対する一般化ストリングポリトープ∆i,mは、対応するボット＝サマエル多様体のニュートン＝オクウンコフ体∆(Zi, Li,m, vi, τi,m)と同一である。
• A2型でm = (1,1,1のとき、一般化ストリングポリトープ∆i,mは不等式 a3 ≤1, a2 ≤a3 +1, a1 ≤a2 −2a3 +2 で与えられる。
• C2型でm = (1,1,1,1のとき、多面体∆i,mは 0 ≤a4 ≤1, 0 ≤a3 ≤2a4 +1 およびa2とa1を含む他の制約で定義される。
• G2型でm = (1,1,1,1,1,1のとき、多面体∆i,mは6つの変数を持ち、a1 ≤3a2 −2a3 +3a4 −2a5 +3a6 +3を含む複雑な分岐線形不等式によって境界づけられる。
• 非既約の場合、例えばA1型でi = (1,1,1のとき、多面体∆i,mは格子多面体ではない。頂点が(0,1,0.5)にあるためである。
• 重みmsがms+1よりも十分に大きいとき、多面体∆i,mは正確に2r個の頂点とr−1次元の2r個の面を持つ。