[論文レビュー] Newton polygon stratification of the Torelli locus in PEL-type Shimura varieties

Wanlin Li, Elena Mantovan+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、クラッチング法を用いて、PEL型 Shimura 多様体における開 Torelli の局所が、特定のニュートン多角形層に交わることを示し、特に対称的でない p-大規模な超特異ケースにおいて、Oort の予想を確認するとともに、特異的でない滑らかな曲線が、無限に多くの新しいニュートン多角形（多くの場合、射影直線の巡回被覆から生じる）を実現することを証明する。

ABSTRACT

We study the intersection of the Torelli locus with the Newton polygon stratification of the modulo $p$ reduction of certain PEL-type Shimura varieties. We develop a clutching method to show that the intersection of the open Torelli locus with some Newton polygon strata is non-empty. This allows us to give a positive answer, under some compatibility conditions, to a question of Oort about smooth curves in characteristic $p$ whose Newton polygons are an amalgamate sum. As an application, we produce infinitely many new examples of Newton polygons that occur for smooth curves that are cyclic covers of the projective line. Most of these arise in inductive systems which demonstrate unlikely intersections of the open Torelli locus with the Newton polygon stratification in Siegel modular varieties. In addition, for the twenty special PEL-type Shimura varieties found in Moonen's work, we prove that all Newton polygon strata intersect the open Torelli locus (if $p>>0$ in the supersingular cases).

研究の動機と目的

• PEL型 Shimura 多様体におけるニュートン多角形層が、開 Torelli の局所（滑らかな曲線のヤコビアンが実現するニュートン多角形）と交わるかどうかを特定すること。
• p-ランクおよびニュートン多角形層の分類に関する先行研究を、PEL型 Shimura 多様体の帰納的系へ一般化すること。
• 下位の種数を持つ曲線からのニュートン多角形の合成に関する Oort の予想を、適合条件のもとで肯定的に解決すること。
• P^1 の巡回被覆を用いて、滑らかな曲線が実現する無限族の新しいニュートン多角形を構成すること。
• p が十分に大きく、特に超特異な場合に、20 種の特別な PEL 型 Shimura 多様体に対して、すべてのニュートン多角形層が開 Torelli の局所と交わることを確認すること。

提案手法

• P^1 への μm-被覆をパラメトライズする Hurwitz 空間におけるクラッチング準同型を用い、所望のニュートン多角形を持つ特異曲線を構成する。
• 変形が μm-被覆のまま保たれ、ニュートン多角形が維持されるように、バランスの取れた条件と適合条件を適用する。
• 3 点分岐被覆または Moonen の 20 種の特別な族を基本ケースとして用い、適合可能でバランスの取れた条件が再帰的に検証可能な、Hurwitz 空間の帰納的系を構築する。
• Kottwitz、Viehmann–Wedhorn、Hamacher によって確立された、シグネチャータイプおよび p mod m 合同類に基づく、PEL型 Shimura 多様体におけるニュートン多角形層の既知の結果を応用する。
• ユニタリ Shimura 多様体（μm の群代数に関連）における単位元のニュートン多角形層の余次元条件の検証に帰着させることで、問題を簡略化する。
• Dieudonné モジュール理論および p-可除群構造を用いて、Shimura 多様体の p を法とする還元におけるニュートン多角形を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 開 Torelli の局所が、PEL型 Shimura 多様体におけるニュートン多角形層と交わるか、特にニュートン多角形が通常型に近い場合に。
• RQ2 特異的でない滑らかな曲線のヤコビアンにおいて、2 つの曲線からのニュートン多角形の合成に関する Oort の予想が、正標数において確認可能か。
• RQ3 正標数における P^1 の滑らかな巡回被覆のヤコビアンとして生じる新しいニュートン多角形は何か。
• RQ4 20 種の特別な PEL 型 Shimura 多様体に対して、p が十分に大きいとき、すべてのニュートン多角形層が開 Torelli の局所と交わるか。
• RQ5 所望のニュートン多角形を持つ特異曲線が、ニュートン多角形を変えずに滑らかな曲線に変形可能となる条件は何か。

主な発見

• ニュートン多角形が通常型に近い場合、無限に多くの PEL 型 Shimura 多様体に対して、開 Torelli の局所とニュートン多角形層の交わりが空でない。
• 適合条件のもとで、Oort の合成ニュートン多角形に関する予想は、特に p-大規模な超特異ケースにおいて肯定的に証明された。
• 本稿は、P^1 の巡回被覆の帰納的系を用いて、無限に多くの新しいニュートン多角形を滑らかな曲線が実現することを構成した。
• 20 種の特別な PEL 型 Shimura 多様体に対して、p が十分に大きいとき、すべてのニュートン多角形層が開 Torelli の局所と交わる。特に超特異ケースで成立する。
• バランスの取れた条件および適合条件のもとで、特異曲線の変形がニュートン多角形を保ち、所望のニュートン多角形を持つ滑らかな曲線の構成が可能となった。
• 具体的な例として、m=6、p≡1 mod 6 の場合の ord^3 ⊕ ss^2、m=8、p≡1 mod 8 の場合の ord^4 ⊕ ss^3 など、表 1 にリストされた他の例も含まれる。