[論文レビュー] Newton polygons of higher order in algebraic number theory

Jordi Guàrdia, Jesús Sanz Montes+1 more|ArXiv.org|Jul 16, 2008

Polynomial and algebraic computation参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿は代数的数論における高次ニュートン多角形の理論を展開し、$p$-進体上での分離多項式の完全因数分解を可能にするとともに、判別式、素イデアル分解、整基底といった主要な算術不変量の計算を可能にする。この手法は再帰的な多角形構成と残余多項式を用い、高々$\operatorname{ind}(f)$ステップで終了を保証する。インデックスの正確な計算は多角形からの組合せ的データによって実現される。

ABSTRACT

We develop a theory of arithmetic Newton polygons of higher order, that provides the factorization of a separable polynomial over a $p$-adic field, together with relevant arithmetic information about the fields generated by the irreducible factors. This carries out a program suggested by Ø. Ore. As an application, we obtain fast algorithms to compute discriminants, prime ideal decomposition and integral bases of number fields.

研究の動機と目的

• $p$-進体における古典的因数分解手法の限界を克服するため、高次ニュートン多角形の構成的理論を構築すること。
• 数体におけるインデックス$\operatorname{ind}(f)$、判別式、素イデアル分解を体系的に計算するための手法を提供すること。
• オーレが長年目指してきた、古典的3段階分解を超えて完全な既約因数分解を達成するようにニュートン多角形理論を拡張するプログラムを実現すること。
• 多項式除法と有限体上での因数分解のみを用いて、算術不変量を有限でアルゴリズム的に扱えるプロセスを確立すること。

提案手法

• $r \geq 1$ の順序に対するニュートン多角形の構成を、タイプとその代表元を用いて行い、オーレの元来の順序1多角形を一般化する。
• 多角形の各辺に付随する高次残余多項式を導入し、各順序における因数分解を精緻化する。
• $1 \leq s \leq r$ に対し、多角形データから再帰的に計算される高次インデックス$\operatorname{ind}_s(f)$を定義する。
• レジュルタンツとインデックス定理を用いて、総インデックス$\operatorname{ind}(f)$を高次インデックスの和に結びつける。
• インデックス定理を応用し、因数分解プロセスが高々$\operatorname{ind}(f)$ステップで終了することを保証する。
• 高速な演算を活用：整数係数多項式の除法と有限体上での因数分解を用い、判別式および整基底計算のための効率的アルゴリズムを実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的3段階分解を超えて、$p$-進体上での多項式を完全因数分解できるように、ニュートン多角形理論の体系的かつ構成的拡張を構築できるか？
• RQ2 高次ニュートン多角形をどのように定義すれば、すべての既約因子を捉え、全判別式および整基底を計算できるか？
• RQ3 高次多角形から得られるどの組合せ的不変量が、インデックス$\operatorname{ind}(f)$の正確な計算を可能にするか？
• RQ4 多項式の基本的演算のみを用いて、素イデアル分解および判別式を有限でアルゴリズム的に効果的に計算するプロセスは存在するか？

主な発見

• 因数分解プロセスは高々$\operatorname{ind}(f)$ステップで終了し、$\operatorname{ind}(f) = \operatorname{ind}_1(f) + \cdots + \operatorname{ind}_r(f)$ が成り立つのは、$\operatorname{ind}_{r+1}(f) = 0$ であるときかつそのときに限る。
• 各既約因子によって生成される$p$-進体の分岐指数および残余次数は、高次多角形の辺およびその残余多項式の組合せ的データによって決定される。
• $p$-進体の極大イデアルは、多角形データから明示的に構成されたユニフォーマライザーによって生成される。
• インデックス$\operatorname{ind}(f)$は、ニュートン多角形構造から得られる高次インデックスの和として正確に計算される。
• 高次タイプとその代表元を導入することで、オーレのプログラムに対する構成的解決策が得られ、古典的ニュートン多角形理論が一般化される。
• 全体のプロセスは、整数係数多項式の除法と有限体上での因数分解の2つの効率的演算にのみ依存しており、判別式および整基底計算のための高速アルゴリズムを実現する。