[論文レビュー] Newton polyhedra, tropical geometry and the ring of condition for $(C^*)^n$

Boris Kazarnovskii, Askold Khovanskiĭ|arXiv (Cornell University)|May 11, 2017

Polynomial and algebraic computation参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$(\mathbb{C}^*)^n$ における条件の環の新しい記述を、凸整数多面体を用いて確立し、それが多面体の体積から構成されるコファンスキー–プフリコフ環に同型であることを示している。トロピカル幾何、特異的でない射影的トーリック多様体のコホモロジー、およびニュートン多面体を介した交線論が統合され、条件の環と微分作用素の巾部分環を零化イデアルで割ったものとの間の自然同型を通じて、BKK定理が一般化されている。

ABSTRACT

The ring of conditions defined by C. De Concini and C. Procesi is an intersection theory for algebraic cycles in a spherical homogeneous space. In the paper we consider the ring of conditions for the group $(C^*)^n$. Up to a big extend this ring can be reduced to the cohomology rings of smooth projective toric varieties. This ring also can be described using tropical geometry. We recall these known results and provide a new description of this ring in terms of convex integral polyhedra.

研究の動機と目的

• $(\mathbb{C}^*)^n$ における条件の環 $\mathcal{R}_n(\Lambda)$ の新しい記述を、凸整数多面体を用いて行う。
• 条件の環をトロピカル幾何および特異的でない射影的トーリック多様体のコホモロジー環と統一する。
• 条件の環 $\mathcal{R}_n(\Lambda)$ と、定数係数微分作用素の巾部分環を零化イデアルで割ったものとの間の自然同型を通じて、ベルンシュタイン–クラスニレニコフ–コファンスキー（BKK）定理を一般化する。
• 条件の環が、凸多面体の体積から構成されるコファンスキー–プフリコフ環に同型であることを確立する。

提案手法

• 本稿は、部分多様体 $X \subset (\mathbb{C}^*)^n$ に関連するバーグマン錐 $B(X)$ を用い、これは $\dim X$ 次元の有理凸錐の有限個の和として表される。
• バーグマン錐 $B(X)$ を含む、滑らかで射影的なトーリック多様体 $M_\Delta$ の良いコンパクト化の理論を適用し、適切な交線的挙動を保証する。
• $\mathcal{R}_n(\Lambda)$ が、バランスの取れた $\Lambda$-豊かにされたファンのトロピカル環 $T\mathcal{R}_n(\Lambda)$ に同型であることが示され、さらにそれは滑らかなトーリック多様体 $M_\Delta$ のコホモロジー環 $H^*(M_\Delta, \Lambda)$ に同型である。
• 主な構成は、有理双対ファンを持つ凸多面体の形式的差の空間 $\mathcal{L}_n$ と、$n!$ を乗じた多面体の体積を与える $n$ 次の同次多項式 $n!V$ である。
• $A(\mathcal{L}_n, n!V)$ は、$\mathcal{L}_n$ 上の定数係数微分作用素の環を、$n!V$ を零化するイデアル $I_P$ で割った商として定義され、双対性を持つ巾部分環となる。
• $\mathcal{R}_n(\mathbb{R}) \cong A(\mathcal{L}_n, n!V)$ の同型が確立され、この代数的幾何的枠組みを通じて BKK 定理が一般化されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(\mathbb{C}^*)^n$ における条件の環 $\mathcal{R}_n(\Lambda)$ を、代数的サイクルではなく凸整数多面体を用いてどのように記述できるか？
• RQ2 条件の環と、特異的でない射影的トーリック多様体のコホモロジー環との間の明確な関係は何か？
• RQ3 自然な代数的構造を通じて、BKK 定理を超曲面に限らず、条件の環全体に一般化できるか？
• RQ4 特にバランスの取れた $\Lambda$-豊かにされたファンとしてのトロピカル幾何は、$(\mathbb{C}^*)^n$ 内のサイクルの交線論をどのように表現するか？
• RQ5 $\mathcal{R}_n(\Lambda)$ と、多面体の体積から微分作用素を介して構成される環との間に自然な同型が存在するか？

主な発見

• $\mathcal{R}_n(\Lambda)$ は、有理双対ファンを持つ凸多面体の形式的差の空間 $\mathcal{L}_n$ と、$n!V$（体積多項式）から構成されるコファンスキー–プフリコフ環 $A(\mathcal{L}_n, n!V)$ に同型である。
• $\mathcal{R}_n(\Lambda)$ は、バランスの取れた $\Lambda$-豊かにされたファンのトロピカル環 $T\mathcal{R}_n(\Lambda)$ に同型であり、さらにそれは滑らかな射影的トーリック多様体 $M_\Delta$ のコホモロジー環 $H^*(M_\Delta, \Lambda)$ に同型である。
• $(\mathbb{C}^*)^n$ 内の $n$ 個の超曲面の交線数は、それらのニュートン多面体 $\Delta_1, \dots, \Delta_n$ の混合体積に $n!$ を乗じたものに等しく、BKK 定理が一般化されている。
• 滑らかなトーリック多様体 $M_\Delta$ のコホモロジー環 $H^*(M_\Delta, \mathbb{R})$ は、$L_\Delta$（$M_\Delta$ のファイブの上で線形なサポート関数を持つ多面体の形式的差の空間）と $n!V$ を用いて構成されるコファンスキー–プフリコフ環 $A(L_\Delta, n!V)$ に同型（グレーディングシフトを除いて）である。
• $A(\mathcal{L}_n, n!V)$ は、$A_k$ と $A_{n-k}$ の間に非退化なペアリングを持つ巾部分環であり、$A_0 \cong \mathbb{R}$、$A_n \cong \mathbb{R}$ である。これは双対性およびペイオントレ・コホモロジー的構造に類似した性質を示している。
• $n!V$ を零化する微分作用素のイデアル $I_P$ を用いて $D(\mathcal{L}_n)/I_P$ として構成される $A(\mathcal{L}_n, n!V)$ は、条件の環の自然な代数的モデルを提供する。