[論文レビュー] Newton's Equation on Diffeomorphisms and Densities

Boris Khesin, Gerard Misiołek+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2017

Advanced Differential Geometry Research被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、多様体 M 上の微分同相写像および確率密度の無限次元空間におけるニュートン型方程式の幾何的枠組みを構築し、オットーの勾配流のための微分積分学を一般化する。マデルング変換が位相空間間のシンプレクティック同相写像およびケーラー写像であることを確立し、古典的ファイシャー・ラオ計量と量子的バウエス計量を結びつける。この幾何的構造により、圧縮性エーラー方程式、ハミルトン＝ジャコビ方程式、非線形シュレーディンガー方程式といった多様な方程式が統一的に扱える。

ABSTRACT

We develop a geometric framework for Newton-type equations on the infinite-dimensional configuration space of probability densities. It can be viewed as a second order analogue of the "Otto calculus" framework for gradient flow equations. Namely, for an n-dimensional manifold M we derive Newton's equations on the group of diffeomorphisms Diff(M) and the space of smooth probability densities Dens(M), as well as describe the Hamiltonian reduction relating them. For example, the compressible Euler equations are obtained by a Poisson reduction of Newton's equation on Diff(M) with the symmetry group of volume-preserving diffeomorphisms, while the Hamilton-Jacobi equation of fluid mechanics corresponds to potential solutions. We also prove that the Madelung transform between Schrodinger-type and Newton's equations is a symplectomorphism between the corresponding phase spaces T* Dens(M) and PL2 (M, C). This improves on the previous symplectic submersion result of von Renesse [1]. Furthermore, we prove that the Madelung transform is a Kahler map provided that the space of densities is equipped with the (prolonged) Fisher-Rao information metric and describe its dynamical applications. This geometric setting for the Madelung transform sheds light on the relation between the classical Fisher-Rao metric and its quantum counterpart, the Bures metric. In addition to compressible Euler, Hamilton-Jacobi, and linear and nonlinear Schrodinger equations, the framework for Newton equations encapsulates Burgers' inviscid equation, shallow water equations, two-component and mu-Hunter-Saxton equations, the Klein-Gordon equation, and infinite-dimensional Neumann problems.

研究の動機と目的

• 微分同相写像および確率密度の無限次元空間における2階のニュートン型力学を、オットーの勾配流の微分積分学へ拡張すること。
• 対称性群を介して、Diff(M) 上のニュートン方程式と Dens(M) 上のニュートン方程式を結ぶハミルトニアン還元枠組みを確立すること。
• マデルング変換が T* Dens(M) と PL2(M, C) 間のシンプレクティック同相写像であることを証明し、従来の部分写像結果を改善すること。
• Dens(M) に拡張されたファイシャー・ラオ計量を導入した場合、マデルング変換がケーラー写像であることを示すこと。
• 圧縮性エーラー方程式、バーガース方程式、浅水域方程式、非線形シュレーディンガー方程式といった多様な方程式を、同一の幾何的枠組みで統一すること。

提案手法

• ハミルトニアン力学およびリー＝ポアソン構造を用いて、微分同相写像群 Diff(M) 上のニュートン方程式を導出する。
• 体積保存の微分同相写像部分群によるポアソン還元を適用し、Dens(M) 上の運動方程式を導出する。
• マデルング変換を、余接束 T* Dens(M) と平方可積分な複素数値関数の空間 PL2(M, C) 間の写像として構成する。
• 標準的シンプレクティック形式を保存することを確認することで、マデルング変換がシンプレクティック同相写像であることを証明する。
• Dens(M) に拡張されたファイシャー・ラオ情報計量を導入し、マデルング変換がケーラー構造を保存することを示す。
• この枠組みを用いて、圧縮性流体、浅水域、μ＝ハインター＝サクソン、クライン＝ゴルドン、および無限次元ネーマン問題の動力学を導出し、統一する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率密度の無限次元空間上で、ニュートン型力学をどのように幾何学的に定式化できるか？
• RQ2 対称性還元は、Diff(M) 上のニュートン方程式と Dens(M) 上のニュートン方程式を結ぶ役割を果たすか？
• RQ3 マデルング変換は、古典的密度力学の位相空間と量子的類似系の位相空間との間でシンプレクティック同相写像か？
• RQ4 どのような幾何的条件下でマデルング変換がケーラー写像となるか？
• RQ5 この枠組みは、圧縮性エーラー方程式、バーガース方程式、非線形シュレーディンガー方程式といった多様な方程式をどのように統一するか？

主な発見

• マデルング変換は、T* Dens(M) と PL2(M, C) 間のシンプレクティック同相写像であり、従来のシンプレクティック部分写像よりも強い構造を確認した。
• Dens(M) に拡張されたファイシャー・ラオ計量を導入した場合、マデルング変換はケーラー写像である。これにより、古典的および量子的情報幾何学が結びつけられる。
• この枠組みにより、体積保存の対称性の下で、ニュートン方程式のポアソン還元として圧縮性エーラー方程式が得られる。
• 流体力学のハミルトン＝ジャコビ方程式は、このニュートン的枠組み内でのポテンシャル解として現れる。
• 幾何的アプローチは、バーガースの非粘性方程式、浅水域方程式、2成分系および μ＝ハインター＝サクソン系、および無限次元ネーマン問題へも拡張可能である。
• Dens(M) 上の拡張ファイシャー・ラオ計量は、マデルング変換がケーラー写像となる自然なリーマン構造を提供し、古典的・量子的計量の関係を明確にした。