[論文レビュー] Newton-Schrödinger Equations are not derivable from General Relativity + Quantum Field Theory

Charis Anastopoulos, B. L. Hu|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2014

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一般相対性理論（GR）および量子場理論（QFT）からニュートン・シュレーディンガー方程式（NSEs）を導出できないことを、2つの独立した手法によって示している。第一に、弱い重力に結合したスカラー場の非相対論的極限を制約を解き、正準的に量子化することで導出する。第二に、半古典的アインシュタイン方程式（SCE）の非相対論的極限をとる。主な結果は、NSEsが、量子場の演算子を古典的c数として解釈し、単粒子波動関数を平均場的集団変数として誤って扱うことに起因しており、これはGR+QFTを超えた未知の物理を仮定していることを明らかにしている。

ABSTRACT

In this note we show that Newton-Schrödinger Equations (NSEs) [arXiv:1210.0457 and references therein] do not follow from general relativity (GR) and quantum field theory (QFT) by way of two considerations: 1) Taking the nonrelativistic limit of the semiclassical Einstein equation, the central equation of relativistic semiclassical gravity, a fully covariant theory based on GR+QFT with self-consistent backreaction of quantum matter on the spacetime dynamics; 2) Working out a model [see C. Anastopoulos and B. L. Hu, Class. Quant. Grav. 30, 165007 (2013), arXiv:1305.5231] with a matter scalar field interacting with weak gravity, in procedures analogous to the derivation of the nonrelativistic limit of quantum electrodynamics. We conclude that the coupling of classical gravity with quantum matter can only be via mean fields, there are no $N$-particle NSEs and theories based on Newton-Schrödinger equations assume unknown physics.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論（GR）および量子場理論（QFT）の文脈におけるニュートン・シュレーディンガー方程式（NSEs）の基礎的立場を明確化すること。
• NSEsがGR+QFTから生じるのか、それとも独立した物理的枠組みを表すのかという長年の議論を解決すること。
• 特に、量子場および質量密度の取り扱いに関して、半古典的重力からNSEsを導出する際の物理的および数学的誤りを特定すること。

提案手法

• 一般相対性理論＋量子場理論（GR+QFT）に基づき、弱い重力に結合したスカラー場の非相対論的極限を、制約を解き、正準的に量子化することで導出する。これは、QEDの非相対論的極限に類似している。
• 一般相対性理論＋量子場理論（GR+QFT）に基づき、自己整合的バックレアクションを有する完全な共変理論である半古典的アインシュタイン方程式（SCE）の非相対論的極限をとる。
• 物質の自由度を量子場 $\hat{\psi}(\mathbf{r})$ および $\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})$ を用いて取り扱い、非局所的重力相互作用を有する多体系シュレーディンガー方程式を導出する。
• 得られた多体系ハミルトニアンに対してハートリー近似を適用し、$N \to \infty$ の平均場極限を調べ、それとNSEを比較する。
• NSEの非線形項が、$m|\psi(\mathbf{r},t)|^2$ を古典的質量密度として扱うことに起因しているのに対し、QFTではこれが量子演算子 $\hat{\epsilon}(\mathbf{r}) = \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}(\mathbf{r})$ であることに着目する。
• 得られた多体系シュレーディンガー方程式のハートリー近似を、SCEの極限およびNSEと比較することで結果を検証し、一致しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論および量子場理論から、一貫した非相対論的極限によってニュートン・シュレーディンガー方程式が導出可能か？
• RQ2 一般相対性理論＋量子場理論（GR+QFT）の文脈において、半古典的アインシュタイン方程式（SCE）の正しい非相対論的極限は何か？
• RQ3 重力を持つ多体系量子場理論のハートリー近似がなぜニュートン・シュレーディンガー方程式を導かないのか？
• RQ4 一般相対性理論＋量子場理論（GR+QFT）における重力自己エネルギーの役割は何か？ また、それとNSEやディオシの確率的モデルにおける役割の違いは何か？
• RQ5 NSEで $m|\psi(\mathbf{r},t)|^2$ を古典的質量密度として扱うことは、なぜ量子場理論と矛盾するのか？

主な発見

• 一般相対性理論＋量子場理論（GR+QFT）に基づき、弱い重力に結合したスカラー場の非相対論的極限は、非局所的重力相互作用を有する多体系シュレーディンガー方程式を導くが、単粒子方程式には非線形項が存在しない。
• 一般相対性理論＋量子場理論（GR+QFT）において、重力自己エネルギーは弱い場の極限で質量の再正則化に寄与するのみであり、シュレーディンガー方程式の非線形項には寄与しない。
• 導出された多体系ハミルトニアンのハートリー近似により得られる平均場方程式は、半古典的アインシュタイン方程式の非相対論的極限と一致するが、ニュートン・シュレーディンガー方程式とは一致しない。
• NSEの非線形項は、量子質量密度演算子 $\hat{\epsilon}(\mathbf{r})$ を古典的c数 $m|\psi(\mathbf{r},t)|^2$ として扱うことに起因しており、これは量子場の演算子性を無視している。
• 1粒子のNSEは、$N$ 粒子の量子場理論の $N\to\infty$ 極限から導出できない。なぜなら、ハートリー近似における $\chi(\mathbf{r})$ は単粒子波動関数ではなく、集団変数であるからである。
• ニュートン・シュレーディンガー方程式に基づく理論は、GR+QFTの確立された枠組みから導出できないため、未知の物理を仮定している。