[論文レビュー] Newtonian and relativistic polytropes

Fernanda Machado Araujo, Cecilia Chirenti|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2011

Elasticity and Material Modeling参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Lane-Emden方程式とTOV方程式を用いて、ニュートン的および相対論的多相星の比較的数値的検討を行い、一般相対性理論が中性子星の最大質量限界を正しく予測することを示している。n=1の場合、半径不安定性が開始する臨界的コンパクトネスパラメータσ_CR ≈ 0.42が特定され、高密度天体に対して相対論的補正が必要であることが強調されている。

ABSTRACT

The equation of state inside very compact objects like neutron stars is still largely unkown. Even though a lot progress has been made in recent years to develop the so-called realistic equations of state, a lot of insight can be gained by using polytropic equations of state to integrate the stellar equations of structure. In this work we provide a brief review of the Newtonian and relativistic equations of structure and present some numerical results, which we believe that can be useful for students starting to work on this field. The internal structure of the Newtonian polytropes is obtained by the numerical integration of the Lane-Emden equation, and we used our results which can also be used to study the Chandrasekhar limit for white dwarfs. However, Newtonian physics cannot correctly describe very compact and massive objects. There is an upper mass limit for neutron stars, supported by observations, which is not predicted by the Newtonian equations. Neutron stars are best described under the framework of General Relativity. The introduction of the TOV equations (as well as the relativistic Lane-Emden equations) is, therefore, necessary to correctly identify stable and non-stable models via the mass-radius relation. The analysis of the EoS also becomes relevant to discard models that allow a possible violation of causality (sound speed larger than c).

研究の動機と目的

• 天文学への進学を予定する学生向けに、ニュートン的および相対論的星構造方程式の教育的レビューを提供すること。
• 多相状態方程式の多相指数nを変化させながら、ニュートン的Lane-Emden方程式および相対論的TOV方程式の数値的解法を実施すること。
• 相対論的モデルにおける臨界的コンパクトネスパラメータσ_CRを用いて、半径不安定性の発生を同定すること。
• ニュートン力学では中性子星に対して最大質量限界を予測できないが、一般相対性理論では正しく予測できることを示すこと。
• 状態方程式モデルにおける光速を超える音速（因果律違反）の有無をチェックすることで、物理的整合性を評価すること。

提案手法

• 多相指数nに対して次元なし変数xおよびyを用いたニュートン的Lane-Emden方程式の数値的積分。
• 次元なし座標ξ、ν、θを用いたTolman-Oppenheimer-Volkoff（TOV）方程式による相対論的星構造の実装。
• 圧力と密度を関係付けるために、多相状態方程式P = Kρ^γ（γ = 1 + 1/n）を用いる。
• 次元なし質量˜M = M / (4πρ_c A^3)およびコンパクトネスσ = GM/(Rc^2)の定義により、安定性および因果律の分析を実施。
• n = 3.0, 2.0, 1.0, 0.5, 0.1, 0.0の各値について、MATLABを用いた反復的数値的手法による相対論的Lane-Emden系の解法。
• dM/dρ_c > 0に基づく安定性解析により、σ_CRを半径不安定性の閾値として特定。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ニュートン的および相対論的多相星の質量-半径関係は、特に最大質量限界を予測する点でどのように異なるか？
• RQ2 相対論的多相星において、半径不安定性が最初に発生するのはどのコンパクトネスパラメータσか？また、多相指数nに依存するか？
• RQ3 白色矮星のチャンドラセカール限界は、ニュートン的多相星モデルから回復され、理解可能か？
• RQ4 ニュートン的モデルと比較して、相対論的モデルは光速を超える音速（因果律違反）をどれほど効果的に回避できるか？
• RQ5 相対論的Lane-Emden方程式の数値解は、さまざまなn値について既知の文献結果とどの程度一致するか？

主な発見

• n = 1の場合、臨界的コンパクトネスσ_CR ≈ 0.42が半径不安定性の発生を示し、σ < σ_CR（安定）とσ > σ_CR（不安定）の境界を形成する。
• n = 3.0の多相星では、σ = 1.0のとき次元なし質量˜M ≈ 0.2307の最大質量が得られ、白色矮星モデルの既知の結果と整合的である。
• ニュートン的モデルでは、半径が減少するにつれて質量が無限に増大すると予測され、中性子星で観測される物理的質量上限を再現できない。
• 相対論的モデルでは、各状態方程式に対して最大質量を正しく予測しており、n = 1およびn = 0.5の場合はσ ≈ 0.4–0.5の付近で˜Mがピークに達する。
• n = 0.1の場合、最大次元なし質量˜M ≈ 0.3977がσ = 1.0で発生し、高コンパクトネスにおける強い相対論的効果を示している。
• 解析により、σ > σ_CRのモデルではdM/dρ_c < 0が成立し、半径不安定性を示すため物理的に不成立であることが確認された。