[論文レビュー] Newtonian Few-Body Problem Central Configurations with Gravitational Charges of both Signs

E. Piña, P. Lonngi|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2012

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、質量は正であるが電荷が正または負である可能性があるニュートン的4体問題における中心配置を調査する。これにより引力と斥力の両方が生じる。修正されたDziobek方程式を導出し、1つの負の電荷が残りの3体の凸包内に位置する凹型配置を生じることを証明するとともに、2組の逆符号電荷が同種電荷が対角線上に位置する凸型配置を生じることを示し、すべての電荷が正の場合と比較して異なる配置の数が減少することを明らかにする。

ABSTRACT

The Newtonian n-Body Problem is modified assuming positive inertial masses but different sign for the interacting force which is assumed with the possibility of two different signs for the gravitational masses, according to the prescription two masses with same sign attract one to the other, two masses of different sign repel one to the other. As in electrostatics the signed mass is called charge. The inertial mass is always positive. The two body problem behaves as the similar Coulomb problem of charged particles with two equal charges. The solution is a central configuration with almost same behavior that the Newton two-body problem for hyperbolic orbits. The 3-Body problem was found with collinear solutions. The four body case of charged central configurations has only the planar [1] and collinear solutions.

研究の動機と目的

• 重力電荷が正または負であるが質量は正のままのニュートン的4体問題における中心配置を分析すること。
• 運動方程式の物理的整合性を明確にし、慣性質量と重力電荷を区別し、先行する数学的取り扱いにおける不整合を是正すること。
• 混合電荷条件下での中心配置に適した修正されたDziobek方程式を導出し、適用すること。
• 中心配置の幾何的制約を証明する：1つの負電荷があると、負質量粒子が他の3体の凸包内に位置する凹型配置が得られる。2組の逆符号電荷があると、同種電荷が対角線上に位置する凸型配置が得られる。
• 既存の平面4体中心配置を計算するためのアルゴリズムを、正負の両方の重力電荷を扱えるように変更すること。

提案手法

• 正の慣性質量と符号付き重力電荷を用いて運動方程式を定式化し、ニュートンの第二法則および第三法則と整合するようにする。
• 各物体に作用する重力の力が同じスカラーBによるスケーリングされた位置ベクトルに等しいと仮定することで、中心配置のための修正されたDziobek方程式を導出する。
• 重心条件および保存則（全運動量、角運動量、エネルギー）を用いてシステムを簡略化し、原点を重心に固定する。
• 幾何学的および代数的技法を用いて、電荷の数と符号に基づいて可能な配置を分類する。
• 既に発表済みの平面中心配置における6つの粒子間距離を計算するためのアルゴリズムを、符号が混合する場合にも対応できるように変更する。
• 数値計算を実施し、λ、θ、φなどのパラメータを用いて配置を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 質量は正のまま重力電荷が正または負である4体問題における中心配置の幾何的制約は何か？
• RQ2 1つの負電荷が中心配置の形状と凸性に与える影響は何か？
• RQ3 正2つ・負2つの電荷がある場合、配置構造はどのように変化するのか。同種電荷どうしが互いにどのように配置されるか？
• RQ4 数学文献で質量と電荷を混同している場合と比較して、修正されたDziobek方程式はどのように異なるか？
• RQ5 既存の4体中心配置を計算するためのアルゴリズムを、正負の両方の重力電荷を扱えるように変更できるか。また、どのような新しい解が得られるか？

主な発見

• 1つの負電荷（例：e₁ = -m₁）を有する中心配置は、負質量粒子が他の3体の凸包内に位置する凹型形状を示す。
• 1つの符号に2つの電荷、逆符号に2つの電荷がある場合、中心配置は凸型であり、同種電荷が対角線上に位置する。
• 正電荷の場合に適応されたアルゴリズムは、符号が混合する場合にも物理的中心配置を的確に計算でき、電荷符号の組み合わせごとに1つの一意な配置が得られる。
• すべての可能な符号組み合わせ（1つの負電荷：4通り、2組の逆符号電荷：3通り）に対して数値解が得られ、それぞれλ、θ、φおよび6つの粒子間距離の異なる値を有する。
• λ（スケーリングパラメータ）の値は配置によって顕著に異なる：e₁が負の場合はλ ≈ 47.29、r₄₁とr₂₃が対角線上にある凸型配置ではλ ≈ 3.02である。
• 結果として、すべての電荷が正の場合に7つの配置が得られたのに対し、混合電荷では符号の組み合わせごとに1つの配置しか得られず、配置の数が減少することが示された。