[論文レビュー] Nica-Toeplitz algebras associated with right tensor C*-precategories over right LCM semigroups: part II examples

B. K. Kwaśniewski, Nadia S. Larsen|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2017

Advanced Operator Algebra Research被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、右LCM半群上のNica-Toeplitz代数の一意性定理を、C*-対応の積系に抽象的一意性結果を適用することによって確立する。これは右および左の半直積の半群C*-代数を統一し、完全正の写像によるNica-Toeplitz交叉積を導入し、Doplicher-Roberts型C*-代数を新たに構成することで、FowlerおよびFowler-Raeburnの枠組みを右LCM半群へと拡張する。

ABSTRACT

We prove uniqueness of representations of Nica-Toeplitz algebras associated to product systems of $C^*$-correspondences over right LCM semigroups by applying our previous abstract uniqueness results developed for $C^*$-precategories. Our results provide an interpretation of conditions identified in work of Fowler and Fowler-Raeburn, and apply also to their crossed product twisted by a product system, in the new context of right LCM semigroups, as well as to a new, Doplicher-Roberts type $C^*$-algebra associated to the Nica-Toeplitz algebra. As a derived construction we develop Nica-Toeplitz crossed products by actions with completely positive maps. This provides a unified framework for Nica-Toeplitz semigroup crossed products by endomorphisms and by transfer operators. We illustrate these two classes of examples with semigroup $C^*$-algebras of right and left semidirect products.

研究の動機と目的

• Nica-Toeplitz代数の一意性結果を右LCM半群上の積系へと拡張すること。
• FowlerおよびFowler-Raeburnの条件を右LCM半群の文脈で解釈・一般化すること。
• 完全正の写像を用いた統一的なNica-Toeplitz交叉積の枠組みを構築すること。
• Nica-Toeplitz代数から新しいDoplicher-Roberts型C*-代数を構成すること。
• 右および左の半直積の半群C*-代数を通じて、この枠組みを具体化すること。

提案手法

• 右LCM半群上の積系のNica-Toeplitz代数に、C*-前カテゴリの抽象的一意性定理を適用すること。
• 右LCM半群の構造を用いて、Nica-Toeplitz代数の表現を定義・分析すること。
• 完全正の写像による作用を通じてNica-Toeplitz交叉積を導入し、自己準同型と移行作用素の交叉積を統一すること。
• Nica-Toeplitz代数からDoplicher-Roberts構成に類似した新しいC*-代数を構成すること。
• 積系と半群作用の観点から、得られたC*-代数を分析すること。
• 枠組みを半直積に適用し、右および左のバージョンを区別すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Nica-Toeplitz代数の一意性定理は、どのように右LCM半群上の積系へと拡張できるか？
• RQ2 完全正の写像は、統一的なNica-Toeplitz交叉積を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 FowlerおよびFowler-Raeburnが特定した条件は、右LCM半群の文脈でどのように一般化されるか？
• RQ4 右LCM半群上の積系のNica-Toeplitz代数から、Doplicher-Roberts型C*-代数を構成できるか？
• RQ5 右および左の半直積の半群C*-代数は、この枠組みからどのように導かれるか？

主な発見

• 抽象的一意性定理を用いたC*-前カテゴリ技法により、右LCM半群上のNica-Toeplitz代数の一意性定理が確立された。
• この枠組みは、FowlerおよびFowler-Raeburnの条件を右LCM半群の文脈で一般化・解釈した。
• 完全正の写像を用いたNica-Toeplitz交叉積が構成され、自己準同型と移行作用素の交叉積が統一された。
• 新しいDoplicher-Roberts型C*-代数が、Nica-Toeplitz代数の商として実現された。
• 右および左の半直積の半群C*-代数が、構築された枠組みから自然に導かれることが示された。
• この構成は、非格子的右LCM半群上の積系を研究するための整合的な代数的枠組みを提供する。