[論文レビュー] Nieh-Yan Invariant and Fermions in Ashtekar-Barbero-Immirzi Formalism

Simone Mercuri|ArXiv.org|Oct 6, 2006

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、アシュテカール＝バーバロ＝イムェルツィ形式における重力とフェルミオンの非最小結合を提案する。この結合は、古典的アインシュタイン＝カルタン力学を保存しつつ、ニエヒ＝ヤン不変量を介して幾何学的に意味のある修正を導入する。ホルスト項と修正されたスピン場結合を組み合わせることで、有効作用は第二カルタン構造方程式が成立するとき、標準的なアインシュタイン＝カルタン理論に還元される。また、ニエヒ＝ヤン位相的項の再構成を通じて、イムェルツィパラメータは幾何学的役割を果たすようになる。

ABSTRACT

In order to introduce an interaction between gravity and fermions in the Ashtekar-Barbero-Immirzi formalism without affecting classical dynamics a non-minimal term is necessary. The non-minimal term together with the Holst modification to the Hilbert-Palatini action reconstruct the Nieh-Yan invariant. As a consequence the Immirzi parameter, differently from the minimal coupling approach, does not affect the classical dynamics, which is described by the Einstein-Cartan action.

研究の動機と目的

• ループ量子重力におけるイムェルツィパラメータの量子効果と古典的アインシュタイン＝カルタン力学との間の矛盾を解消すること。
• ホルスト作用に最小結合を適用すると、イムェルツィパラメータに依存する有効作用が生じ、これは古典的期待と矛盾することを解決すること。
• アインシュタイン＝カルタン極限を保存しつつ、イムェルツィパラメータを幾何的位相的項に埋め込む非最小結合を構築すること。
• イムェルツィパラメータの幾何学的意味を、その量子重力における役割を超えて明らかにし、ニエヒ＝ヤン不変量と関連付けること。
• 新しい結合を用いて重力作用を自己双対および反自己双対のセクターに分離可能とし、ハミルトニアン解析を容易にすること。

提案手法

• イムェルツィパラメータβに依存する非最小スピン場結合項とホルスト項を組み合わせた修正作用を提案する。
• 全作用から場の運動方程式を導出し、第二カルタン構造方程式が満たされるときのみ、ねじれ2形式がアインシュタイン＝カルタン形式と一致することを示す。
• カルタン構造方程式を代入することで、ホルスト項と非最小スピン場項の組み合わせが、ニエヒ＝ヤン不変量を再構成することを示す。
• アシュテカール接続を用いることで、作用が自己双対および反自己双対の部分に分離でき、重みはβによって決定されることを示す。
• 結果として得られる有効作用は、βに依存せず、古典的極限で標準的なアインシュタイン＝カルタン作用に還元されることを確立する。
• 微分形式の計算およびローレンツ共変なスピン場接続を用いて、修正された場の運動方程式を導出し、イムェルツィパラメータの役割を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン場と結合した場合、ヒルベルト＝パラティーニ作用に対するホルスト修正が、古典的アインシュタイン＝カルタン力学に影響を与えるか？
• RQ2 有効古典理論がイムェルツィパラメータに依存せず、常にアインシュタイン＝カルタン理論に一致するような非最小結合を構築可能か？
• RQ3 非最小結合項は、既知の位相的不変量の観点から幾何学的解釈が可能か？
• RQ4 新しい結合を用いることで、重力作用を自己双対および反自己双対の成分に分離可能か？また、これによりハミルトニアン形式が簡略化されるか？
• RQ5 フェルミオン結合の文脈において、イムェルツィパラメータの役割は何か？また、ニエヒ＝ヤン不変量のような位相的項とどのように関連するか？

主な発見

• 非最小結合項とホルスト項の組み合わせは、第二カルタン構造方程式を課したとき、ニエヒ＝ヤン不変量を再構成する。
• 結果として得られる有効作用は、任意の有限値のイムェルツィパラメータβに対して、標準的なアインシュタイン＝カルタン作用に還元され、古典的力学が保存される。
• 修正された作用から導かれるねじれ2形式は、アインシュタイン＝カルタンのねじれから、βに比例する擬スカラー的項のずれを示し、これはβ→∞の極限でのみ消える。
• イムェルツィパラメータは、実数のバーバロ接続を自己双対および反自己双対の部分に分解する際の重み係数として幾何学的に解釈される。
• 全作用は、それぞれ自己双対または反自己双対セクターに対応する2つの独立した作用に分解可能であり、これにより簡略化されたハミルトニアン解析が可能になる。
• 非最小結合により、イムェルツィパラメータは量子的不確かさを通じてではなく、位相的項を通じて作用に組み込まれるようになるため、その古典的役割が解消される。